Описание функционирования математической модели

Приведем формулы, необходимые для вычислений:

1.  

расчет времени поступления заявок в СМО, где λ – интенсивность потока заявок,

R - случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,1),

Т _{k -1} – время поступления предыдущей заявки;

2.  - вычисляет время обслуживания канала m;

3.  - определяет интервал времени между двумя последовательными заявками (между k-й и k+1);

4.  - формирует момент поступления следующей заявки;

5.  - расчет среднего времени ожидания;

Под характеристиками СМО с ограничением на количество заявок в очереди будем понимать величины, по которым можно оценивать эффективность работы СМО и выбирать лучший из нескольких вариантов СМО.

Величины эффективности:

Р_отк – вероятность отказа, показывает, какая доля всех поступающих заявок не обслуживается системой из-за занятости ее каналов или большого количества заявок в очереди (для СМО без ограничений на очередь Р_отк = 0);

Р_отк= k ^отк / k ,              4.1

где k ^отк – количество заявок, получивших отказ, k – общее количество заявок, поступивших в СМО

Р_обсл – вероятность обслуживания (относительная пропускная прособность), показывает, какая доля всех поступающих заявок обслуживается системой,

Р_обсл=1-Р_отк          4.2

(для СМО без отказов Р_обсл = 1);

U – коэффициент загрузки СМО, показывает, какую часть от общего времени своей работы СМО выполняет обслуживание заявок; желательно, чтобы коэффициент загрузки СМО имел значение на уровне 0,75–0,85. Значения U < 0,75 указывают, что СМО простаивает значительную часть времени, т.е. используется нерационально. Значения U > 0,85 указывают на перегрузку СМО.

U = ρ(1 – P_отк), 4.3

где ρ - нагрузка на СМО:

 где 4.4

Величина ρ представляет собой отношение интенсивности потока заявок к интенсивности, с которой СМО может их обслуживать. Для СМО с ограничениями на очередь и без очереди возможны любые значения ρ, так как в таких СМО часть заявок получает отказ, т.е. не допускается в СМО.

q – среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди);

S – среднее число заявок на обслуживании (в каналах), или среднее число занятых каналов;

S = mU 4.5

k – среднее число заявок в СМО, т.е. на обслуживании и в очереди;

k = q + S 4.6

w – среднее время пребывания заявки в очереди (среднее время ожидания обслуживания); формула Литтла:

4.7

t – среднее время пребывания заявки в СМО, т.е. в очереди и на обслуживании;

 или 4.8 - 4.9

γ – пропускная способность (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени); эта величина представляет интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО. Обычно желательна максимизация этой величины, особенно в случаях, когда обслуживание каждой заявки обеспечивает получение определенной прибыли.

γ = μS или γ = λ(1 – P_отк). 4.10

 - абсолютная пропускная способность.

Величины U и S характеризуют степень загрузки СМО. Эти величины представляют интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО.

Например, если в качестве СМО рассматривается предприятие, выполняющее некоторые заказы, то эти величины представляют интерес для владельцев предприятия.

Величины P_отк , P_обсл, w и t характеризуют качество обслуживания заявок.

Они представляют интерес с точки зрения пользователей СМО. Желательна минимизация значений P_отк , w , t и максимизация P_обсл .

Величины q и k обычно используются в качестве вспомогательных для расчета других характеристик СМО.

Формулы (4.1)–(4.10) могут применяться для расчета характеристик любых разомкнутых СМО, независимо от количества каналов, потока заявок, закона распределения времени обслуживания и т.д. [4]

Обозначения:

время работы СМО, час [T]: 7

интенсивность поступления заявок, ед./час [L]: 7

число обслуживающих каналов, ед. [N]: 3

максимальная длина очереди, ед. [M]: 4

закон распределения времени обслуживания (exp/evenly) [ZR]: exp

среднее время обслуживания [TO]: 0,5

погрешность вычислений [E]: 0,1

количество прогонов модели

[5].

В связи с большим объемом данных по реализации 100 прогонов, приведу результаты одного в Таблице 4.1

Таблица 4.1

Окончание обслуживания каждым каналом:

канал 1: 8.940207

канал 2: 9.866883

канал 3: 9.59184

Суммарное время простоя на 3 каналах: 2.33993000000001 час за общее время обслуживания 28.39893 часов,

минимальное время ожидания: 0

максимальное время ожидания: 2.175304

среднее время ожидания: 0.374262

количество отказов: 3, 588%