Решение задач по готовым чертежам (устно).

Чертежи готовятся заранее на доске или на кодопозитивах. В ходе решения задач учащиеся формулируют те определения, свойства и признаки, которые они используют. Там, где это возможно, рассматриваются различные способы решения одной и той же задачи.

Задачи

 

1.

Угол 1=40°; угол 2=80°

Найти углы 3,4,5,6.

 

(Используются свойства равнобедренного треугольника.)

2.

P_ABC=50 см; P_ABD=30 см

(Используется определение периметра треугольника.)

 

3.

 

Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.

(Для доказательства равенства треугольников DCF и DEH используются свойство углов при основании равнобедренного треугольника и II признак равенства треугольников; для доказательства равенства треугольников DCH и DEF можно использовать любой из трех признаков.)

4.

 

Доказать:

ВС=ЕD; КВ=КЕ

(Используются I и II признаки равенства треугольников.)

 

 

5.

 

(Используется сначала III признак равенства треугольников, затем свойства равнобедренного треугольника, I или II признаки.)

 

В приложении 1 приводятся задачи, которые также можно использовать на этом этапе урока.

 

Систематизация знаний о признаках равенства треугольников.

В ходе решения задач по готовым чертежам учащиеся повторили все признаки равенства треугольников. Теперь вместе с учителем они рисуют следующую схему:

Затем учитель предлагает учащимся ответить на вопросы: сколько нужно пар соответственно равных элементов для доказательства равенства треугольников? Достаточно ли двух пар и почему? Нужны ли четыре пары? Существуют ли другие признаки равенства треугольников по трем элементам? Можно ли доказать равенство треугольников по трем углам?

 

Важно ли, что в I признаке угол лежит между сторонами, а во II признаке оба угла прилежат к стороне?

Последний вопрос приводит к следующим двум задачам:

1. Доказать, что треугольники ABC и A ₁ B ₁ C ₁ равны, если АВ=А₁В₁, BC=B ₁ C ₁ и углы A и A ₁ равны.

2. Доказать, что треугольники АВС и А₁В₁ C ₁ равны, если углы A и A ₁ , B и B ₁ , C и С₁ равны (задача №174 из учебника).

 

Решение задач (письменно).

В классе учащиеся решают задачу 1; задача 2 задается на дом (т.к. при ее решении используется теорема о сумме углов треугольника, которую учащиеся должны будут повторить к следующему уроку).

 

Решение задачи 1

Дано: АВ=А₁В₁

BC=B ₁ C ₁ и углы A и A ₁ равны.

Доказать: ∆ABC=∆A ₁ B ₁ C ₁

Доказательство:

Дополнительные построения: BH ┴ AC, B ₁ H ₁ ┴ A ₁ C₁

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A ₁ B ₁ H ₁

По условию AB=A ₁ B ₁, углы А и А₁ равны => ∆ABH=∆A ₁ B ₁ H ₁ , (по гипотенузе и острому углу) => AH=A ₁ H ₁, BH=B ₁ H ₁.

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ∆CBH и ∆C ₁ B ₁ H ₁.

По условию BC=B ₁ C ₁,по доказанному BH=B ₁ H ₁=> ∆CBH=∆C ₁ B ₁ H ₁ (по гипотенузе и катету) =>CH=C ₁ H ₁.

3) По доказанному AH =A ₁ H ₁, CH=C ₁ H ₁ => AC=A ₁ C ₁.

4) Рассмотрим треугольники ∆АВС и ∆A ₁ B ₁ C ₁.

По условию AB = A ₁ B ₁, BC=B ₁ C ₁, по доказанному AC=A ₁ C ₁ => ∆ABC=∆A ₁ B ₁ C ₁ (по III признаку), что и требовалось доказать.

 

Если остается время, то учащиеся решают задачу №175 из учебника.

175.

Дано: ОА=ОВ, АС=ВВ.

Доказать: ОЕ – биссектриса.

Доказательство:

1) По условию ОА=ОВ, АС=ВО => ОС=ОО.

2) Рассмотрим треугольники ∆АО D и ∆ВОС.

По условию ОА=ОВ, по доказанному ОС=О D, угол COD – общий => ∆АО D и ∆ВОС (по I признаку) => углы OAD и OBC равны, углы ODA и OCB тоже равны.

3) По доказанному углы OAD и OBC равны => углы EAC и EBD тоже равны.

4) Рассмотрим треугольники ∆АЕС и ∆ВЕС.

По условию АС=ВВ, по доказанному углы ЕАС и ЕВВ равны, углы АСЕ и ВВЕ равны => ∆АЕС=∆ВЕ D (по II признаку) => АЕ=ВЕ.

5) Рассмотрим треугольники ∆ОАЕ и ∆ОВЕ.

По условию ОА=ОВ, по доказанному АЕ=ВЕ, ОЕ - общая => ∆ОАЕ=∆ОВЕ (по III признаку) => углы АОЕ и ВОЕ равны => ОЕ - биссектриса угла ХОУ (по определению биссектрисы угла), что и требовалось доказать.