ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Элементы комбинаторики Размещением с повторениями из n по m элементов называется конечная последовательность элементов некоторого множества . Если все члены выборки различны, то последовательность называется размещением без повторений. Размещения без повторения - m -элементные выборки, различающиеся либо входящими элементами, либо порядком их следования. Размещение с повторениями – это выборка с возвращением выбираемых элементов. Число всех возможных размещений с повторениями равно (число комбинаций, выбираемых из m групп, содержащих по n элементов). Размещение без повторения – выборка без возвращения выбираемых элементов . Общее число различных комбинаций – размещений без повторений обозначается символом и равно (количество выборок из m групп, содержащих соответственно , , …, элементов). Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом . Сочетаниями из n по m элементов называются m - элементные подмножества множества , имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом . Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами: 2. Классическое определение вероятности , где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А. 3. Геометрическое определение вероятности . Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы. 4. Основные свойства вероятности Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий): . Для полной группы несовместных событий Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: - теорема умножения. Если события А и В – независимые, то - теорема умножения. 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса Если известно, что событие А может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности: Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:
Пример . В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что: а) все детали дефектные (событие А); б) только одна деталь дефектная (событие В); в) все три детали годные (событие С); г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D ). Решение. Используем классическое определение вероятности. а) Событие А = {выбранные три детали дефектные}; Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей. (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей). . б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта}; , где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей Следовательно, в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные} г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие . = { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то Пример . В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы): Н1={на первую игру выбирают два новых мяча}. Н2={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}. Н3={на первую игру выбирают два игранных мяча}. Вероятности гипотез соответственно равны: , , Проверка: - выполняется: . Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие: , , Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:
Пример . а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений. Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}. Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}. Пусть событие В5={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В6= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В7 ={взойдет ровно 7 тюльпанов}. Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли: , где . В частности, , , . В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем Пример . Составить закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики Решение: ДСВ Х - отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события { X =2} равна P ( X =2)= p 1 =2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны: , , . Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:
Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1 Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание: . Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: Функция распределения имеет вид:
График функции распределения имеет вид:
Пример . Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х1, х2, х3…х10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.
Решение. Найдем выборочную среднюю: . Вычислим выборочную дисперсию . , n =10. Исправленная выборочная дисперсия: . . Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток: , где – функция Лапласа. В данном случае принимаем следующие значения параметров: = 100 тыс.руб., тыс.руб., тыс. руб., тыс.руб. (нет ограничений сверху). Имеем: По таблице находим: , следовательно, .
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Пример 1. Даны матрицы и . - единичная матрица. Найти: а) матрицу ; б) обратную матрицу и проверить, что : . Решение. а). Раскроем скобки, получим . Применяя правило умножения матрицы на матрицу, имеем . Следовательно,
. б). Обратную матрицу найдем, используя присоединенную матрицу . Элементы присоединенной матрицы - это алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , расположенные по столбцам: . Обратная матрица определяется формулой: . Вычислим определитель матрицы, проверим, что матрица невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу. Определитель найдем, раскрывая по элементам первой строки: . Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы :
. Итак, присоединенная матрица имеет вид: . Таким образом, обратная матрица равна . Проверим, что обратная матрица найдена правильно, должно выполняться условие . Вычислим элементы произведения матриц: - верно, - верно, - верно. Пример 2. Тремя методами (Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений: , где матрицы и заданы в условии задачи 1, а - матрица-столбец неизвестных . Решение. Учитывая правило перемножения матриц, запишем подробный вид системы: . Получим решение по формулам Крамера: . Здесь - определитель матрицы системы, он найден в задаче 1 при нахождении обратной матрицы. - определители, полученные из определителя матрицы системы заменой соответственно первого, второго, третьего столбца матрицы столбцом правых частей: . Таким образом, получаем, . Получим решение матричным методом. В этом случае решение определяется формулой: . Обратная матрица была найдена при решении задачи 1. Поэтому сразу запишем . Сравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, снова находим . Получим решение методом Гаусса. При помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы последовательно исключаем неизвестные в уравнениях системы. На месте клетки получим единичную матрицу , при этом на месте клетки появится вектор решения.
. Итак, . Пример 3. Даны точки . Найти: а). Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора ; б). Проекцию вектора на вектор ; в).Скалярное произведение векторов и , а также угол между ними; г).Векторное произведение векторов и , а также площадь треугольника ; д). Смешанное произведение векторов , а также объем пирамиды ABCD. Решение. а) Вектор найдем по формуле : . Модуль вектора определяется соотношением . Получаем отсюда . Направляющие косинусы – это координаты орта вектора . Т.е. вектора . Направляющие косинусы равны: . б). Проекцию вектора вычислим с помощью скалярного произведения: .
Найдем вектор . Учитывая формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатах , найдем проекцию . в). Найдем вектор и вычислим скалярное произведение векторов и . . . Косинус угла между векторами и определяется равенством . Отсюда заключаем, что угол . Найдем вектор и вычислим векторное произведение векторов с помощью формулы . . . Учитывая, что модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, для площади треугольника имеем соотношение . д). Найдем вектор и вычислим смешанное произведение по формуле . Имеем . . Учитывая, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного па векторах-сомножителях, а объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, получаем . Пример 4. . На плоскости даны вершины треугольника . Найти: а). Канонические уравнения сторон и ; б). Уравнение высоты, опущенной из вершины B; в). Внутренний угол ; г). Уравнение медианы, проведенной из вершины B; д). Расстояние от точки В до стороны . Сделать чертеж: . Решение. а). Уравнения сторон найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: . Угловой коэффициент прямой равен . б). Угловой коэффициент высоты связан с угловым коэффициентом стороны соотношением . Отсюда находим, . Уравнение высоты составим, используя уравнение прямой, имеющей заданный наклон и проходящей через заданную точку: . . в). Для нахождения внутреннего угла используем формулу . Получаем, . . г). Чтобы составить уравнение медианы, найдем координаты точки - середины стороны : . (каноническое уравнение вертикальной прямой). д). Расстояние от вершины до стороны найдем по формуле: , где - общее уравнение прямой, - точка, от которой определяется расстояние. Общее уравнение стороны имеет вид: . Поэтому . Строим треугольник в координатных осях: Пример 5. Точки являются вершинами пирамиды. Найти: а). Уравнения ребра ; б). Угол между ребрами и ; в). Уравнение грани ; г). Угол между ребром и гранью ; д). Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины , а также проекцию этой вершины на плоскость . Решение. а). Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки, определяются соотношениями . Следовательно, уравнения ребра имеют вид , или . б). Угол между ребрами - это угол между векторами и . Эти векторы соответственно равны и . Поэтому . в). Составим уравнение грани , используя условие компланарности векторов , и текущего вектора : . Раскрывая определитель, получим , или . г). Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором определяется формулой . Направляющий вектор ребра равен , координаты нормального вектора плоскости – это коэффициенты в общем уравнении плоскости, т.е. . Отсюда получаем , . д). Направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной из вершины , является нормальный вектор плоскости . Поэтому канонические уравнения высоты следующие . Проекцию вершины на плоскость основания найдем как пересечение прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений высоты перейдем к параметрическим уравнениям: Подставляя последние соотношения в уравнение плоскости , получаем уравнение для определения значения параметра , соответствующего точке : . Подставляя полученное значение в параметрические уравнения высоты, находим координаты точки : . Пример 6. Найти пределы функций: а) ; б) ; в) ; г) Решение. а) Чтобы раскрыть неопределенность типа необходимо и в числителе и в знаменателе в каждом из сомножителей вынести старшие степени = ; б) в) ; Здесь использован первый замечательный предел: . г) Здесь применен второй замечательный предел: . Пример 7. Используя определение, найти производную функции в точке . Решение. По определению . Отсюда . Для решения примеров задания 8 предполагается использование правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |