Пользуемся 3-мя линиями: сплошная основная (толстая), штриховая, сплошная токая.

Чертежи смотреть в конспекте Дианы (в этой же папке)

 

Лекция 05.09.2019

Тема: Методика обучения учащихся нахождения углов и расстояний в пространстве.

 

Термин «угол» входит во множество словосочетаний, употребляемых в стереометрии: плоский угол при вершине многогранника, двугранный угол (ф), линейный угол, многогранный угол (ф), сумма плоских углов многогранного угла (как характеристика), угол наклона прямой (отрезка) к плоскости, угол наклона ребра, угол между плоскостями, угол между полуплоскостями (в), угол между прямой и плоскостью (можно двояко – фигура или величина), угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми (в) и т.д.

Часть из этих терминов обозначают геометрические фигуры, часть - величины.

В случаях, когда угол входит в термин, обозначающий величину, «работает» «принцип минимализма»: т.е. из всех возможных вариантов выбирается наименьший вариант. Например, угол между пересекающимися прямыми – от нуля до 90 градусов включительно. Аналогично угол между пересекающимися плоскостями. Угол между полуплоскостями – от 0 до 180 градусов включительно (и между лучами, и между векторами, и между полуплоскостями), но все равно наименьший.

 

В школьном курсе математики употребляется понятие только выпуклых многогранных углов. Соответственно формулируется признак существования выпуклого многогранного угла («Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов». (Если 360 градусов – он просто «разложится» по плоскости). Об этом специально говорится в учебнике Рогоновского. В школьных - вроде бы нет.

 

Многогранники.

Учебные пособия по стереометрии существенно отличаются подходом к месту введения многогранников:

1) введения многогранников только после изучения параллельности и перпендикулярности плоскостей (Погорелов, Рогановский);

2) введение многогранников с первых уроков стереометрии и даже планиметрии (принцип фузианизма – когда вводится куб, параллелепипед и даже пирамиду. Когда вы ведете планиметрию, ваша воля – использовать, например, куб для изучения планиметрии или не использовать).

Раннее введение многогранников позволяет:

- формировать постепенно навыки их изображения, развивать пространственное воображение. (Особенности изображения – где находится точка, ошибки – посмотреть у Дианы!!!!);

- рано ввести тему построение сечений (самое мощное средство развития воображения);

- иллюстрировать все факты теории о параллельности плоскостей на доступных, ограниченных и хорошо знакомых объектах (куб, параллелепипед, пирамида). В 10-м классе в рамках изучения материала 10-го класса можно пройти всякие свойства многогранников, а в 11 их только повторить.

 

При обучению решению задач в том числе очень важно сделать чертеж и проверить качество его выполнения.

 

Площадь поверхности многогранника не является геометрической величиной.

 

Опр. призмы: обязательно говорить «..остальные n -граней ..», иначе можно нарисовать ромбический додекаэдр (12 граней – равные ромбы).

Вершин 2 n, ребер 3n, 7 граней может быть (5-тиугольная призма).

 

После темы «Перпендикулярность прямых и пл-тей в пространстве целесообразно ввести понятие прямоугольного тетраэдра и освоить метод прямоугольного тетраэдра. Поскольку при обосновании вида такого тетраэдра используются основные теоремы о перпендикулярности, а при решении задач используются все виды углов, которые встречаются в многогранниках: плоские углы, угол наклона ребра к плоскости, линейный угол двугранного угла.

Понятие ПТ используется в двух вариантах:

1) при одной вершине собираются 3 прямых угла;

2) наличие прямого угла в каждой грани (определение перпендикуляра, теорема о трех перпендикуляра используется при обосновании).

Метод прямоугольного тетраэдра разработал Фельдман (СШ № 19).

Метод ПТ – это методический прием, который позволяет установить связь между любыми тремя острыми углами, взятыми по одному в гранях прямоугольного тетраэдра (всего получается 12 разных задач), не используя при этом разучивание 12 специальных формул, не используя пространственную теорему синуса (не входит в программу школьную), не используя введение вспомогательного параметра.

СМ фото.

Дано: два угла (напр, альфа и гамма), найти, напр, фи.

Делаем техническую запись (таблица): выписываем углы, треугольники в которые входят эти углы, ищем общую вершину, рабочие» ребра – ребра, которые выходят из этой вершины. Эту запись ученик может не делать официально, это для того, чтобы найти рабочие ребра.

Решение:

Из треугольника КSВ (угол К = 90ь градусов);

Синус фи = КВ\SB = (умножим и разделим на оставшееся рабочее ребро) (КВ\ВА)*ВА\SВ = синус гамма умножить на косинус альфа

Фи = арксинус этого произведения

 

Лекция 07.09.2019

Тема: предыдущая.

В определениях для углов придерживаемся принципа однозначности (должны мы очень четко договориться, какой угол брать) и минимальности. Напр., определение угла между наклонной и плоскостью, берется угол между наклонной и ее проекцией, потому, что он – наименьший из всех возможных. Пример: величина двугранного угла – угол между перпендикулярами.

Тема: Методика изучения расстояний в стереометрии.

Расстояние х_iy_i= min {X_k; Y_p}, где Х_k принадлежит первой фигуре,

Расстоянием между двумя фигурами F1 и F2 (если оно существует) называется наименьшее расстояние между точками, такими, что одна лежит на одной фигуре, вторая – на второй.

Примеры: расстояние от точки до прямой, если на прямой выколота точка, куда падало бы основание перпендикуляра, опущенного на эту прямую. (не существует расстояние между ветвью гиперболы и осями координат).

Есть ли в учебном пособии общее понятие расстояние между фигурами (содержит ли фразу «если оно существует»), как оно иллюстрировано.

Понятие расстояния может быть определено через длину отрезка, но тогда длина отрезка является неопределяемыми понятием и может определяться или конструктивно через описание процедуры измерения и использование в этом описании предельного перехода. Второй путь – аксиоматическое определение (дескриптивное, не явное).

Можно длину определять через расстояние, тогда расстояние дается аксиоматически.

Набор терминов, которые используются в школьном курсе: расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между параллельными (прямыми, прямой и плоскости, плоскостями), между скрещивающимися прямыми (расстояния между фигурами – такого определения может в учебнике не быть).

Самое интересное (проблемное) здесь – расстояние между скрещивающимися прямыми. Для его определения можно выделить несколько подходов:

1) длина их общего перпендикуляра;

2) через расстояние от любой точки от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, параллельной ей и содержащей вторую;

3) через расстояния между двумя параллельными плоскостями, содержащими по одной из данных прямых.

Первый подход у Погорелова, третий – у Шлыкова.

Обозначение скрещивающихся прямых: а ÷ b, d(a, b), ρ (a, b).

При формировании понятия расстояния между фигурами очень полезно решение задачи: дан тупоугольный треугольник АВС, проведен перпендикуляр СМ, найти расстояние от точки М до сторон треугольника. Решение см. фото.

 

Тема: Методика изучения многогранников.

Методические проблемы:

1. Место введения многогранников в школьном курсе геометрии (и планиметрия (фузионизм)) и в стереометрии.

2. Обучение изображению двумерных графических моделей трехмерных объектов (в частности, призмы, пирамиды).

Сложность и изобразить, и прочитать.

3. Место введения сечений многогранников (три подхода: сразу после аксиом; после темы параллельность; в 11 классе).

4. Определение многогранника и развертки многогранников, моделирование многогранников.

5. Этапы изучения программного материала по многогранникам.

Материалы по многогранникам резко делятся на 2 части: до объемов и после них. Методическая проблема: надо ли так надолго прятать объемы (суть методической проблемы: целесообразно ли откладывание формул объемов многогранников на конец обучения.

Методика обучения решению задач на многогранники:

1) классификация задач по теме, отбор минимального количества ключевых задач;

2) создание графической модели (чертежа) с выносами и дополнительными проекциями;

3) запись условия по чертежу, адекватная тексту задачи;

4) внесение обозначений в чертеж;

5) проблема геометрических обоснований и выкладок;

6) формирование письменной речи – запись полного решения задачи.

 

Дальше методические проблемы:

6. Качество рассмотрения в учебном пособии правильных многогранников.

7. Желательные дополнительные сведения о многогранниках (формула Эйлера, обоснование существования многогранных углов, исторические и мировоззренческие сведения).

Задача:

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине фи, угол наклона бокового ребра к плоскости основания альфа, угол наклона боковой грани к плоскости основания бета, величина двугранного угла при боковом ребре гамма. Отметить на чертеже эти углы.

При обучении изображениям многогранникам (в частности, пирамид) полезно дать следующие советы:

1) сначала изобразить основание пирамиды во фронтальной плоскости и отметить на нем основание высоты;

2) на полученном чертеже отметить элементы будущих линейных углов;

3) изобразить графическую модель пирамиды, используя правила параллельного проецирования;

4) отметить на полученном чертеже все данные в условии углы.

 

Следующий чертеж см. у Дианы и на фото.

Сколько различных вариантов изображения угла гамма будет вправильной n-угольной пирамиде, если:

n = 4? (3 случая);

n = 5 (3 случая);

n = 6 (1 случай).

 

Задача: найти площадь полной поверхности правильной шестугольной пирамиды, все ребра которой равны по 3 см.

Такой пирамиды не существует, т.к. боковая грань шестиугольной пирамиды не может быть расвносторонним треугольником.

Задача

Найти полную площадь повержности треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 см, а угол при вершине  равен 120 градусов.

 

Проблема определений:

Существует несколько подходов к определению призмы и пирамиды:

1) описательное (дискриптивное) определение. Например, пирамида: геометрическое тело, одной гранью которой является n-угольник, остальные грани – n-треугольников с общей вершиной; подобные определения у Шлыкова, Атанасяна.

2) конструктивное. Пример конструктивного определения (погорелов): n-угольная пирамида – многогранник, который образуется из некоторого многоугольника и множества всех отрезков, соединяющих …

3) через понятие конической (цилиндрической) поверхности (Рогоновский):

фиксируем точку в пространстве, на плоскости задаем ломаную, проводим прямую, соединяющую эту точку с точкой на ломаной (образующей), двигаем как-то образующую, получаем коническую поверхность, пирамида – часть фигуры между точкой и ломаной.

 

Развертки.

Получить развертку произвольного тетраэдра: начертить произвольный треугольник, соединить середины сторон, получившийся внутри треугольник – основание; согнуть и склеить.

 

Виды призм: призмы бывают: прямые и наклонные; параллелепипеды (призма, в основании которой параллелограмм – частный случай призмы (наклонный, прямоугольный и прямой); прямая призма, правильная призма.

Виды пирамид: пирамида и правильная пирамида.

 

Задача: см фото.

Формула Эйлера: В+Г – Р = 2 (вершины, грани, ребра)

Пирамида: В = n +1, Р = 2 n , Г= n +1.

Призма: В = 2 n , P = 3 n , Г = n +2.

Решить задачу.

 

Проблема обучению решения задач.

Советы: на первых уроках по решению задач определенного типа (в стереометрии) не разрешать выполнять выкладки вычисления по непроверенному чертежу. Первые домашние задания включают только создание графической модели к задаче. Соединять выполнение чертежа и выкладок (вычислений) на заключительном этапе.

Задача:

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены под углом альфа. Найти углы наклона боковых ребер к плоскости основания.

 

Теоретические построения – это построения, которые Обосновываются на основании аксиом, теорем, но с помощью инструментов не ??делаются?? Анализ пособий:

1) объясняются ли, что есть такие построения

Можно ли построить прямую, как построить прямую – вы же ничего не строите, а рассказываете как;

2) иметь примеры таких задач.

Анализ иои

Сколько задач на построение сечений. Сколько задач, где плоскость задается тремя точками…

 

Лекция 20.09.2019

Тема: векторно-координатный подход к решению геометрических задач.

(есть 3 метода: векторный, координатный, векторно-координатный).

Из истории использования векторов в математике.

Векторы, как понятие, возникли из нужд физики, возникли в физике (вектор – то лат. «тяну», «тащу»). В физике вектор трактуется как направленный отрезок, и характеризуется длиной и направлением.

В математике использование аппарата векторов при изложении геометрии использовал немецкий ученый Герман Вейль в Цюрихе, в 1917г. (в лекциях, он автор так называемой нетрадиционной геометрии/математики).

Во время колмогоровской реформы школьного математического образования (60-70-е гг. 20-го века) векторы впервые в отечественном образовании вошли в школьный курс геометрии в качестве одного из видов геометрических преобразований, сохраняющих расстояния, одного из видов перемещения или движения. По трактовке Колмогорова вектор отождествлялся с параллельным переносом. (вектро как направленный отрезок – мы его видим; вектор у Колмогорова – его, один вектор, не возможно нарисовать; т.е. трактовка сильно изменилась).

Т.к. в колмогоровском курсе геометрии именно перемещения, движения были основным средством доказательства равенства фигур и их элементов, то векторный аппарат в учебных пособиях этой эпохи был систематически использован для доказательства многих фактов планиметрии и стереометрии.

До 2007 (2012??) векторы сохранялись в программах и учебных пособиях Белоруси; в 2015 они были изъяты.

 

Традиционное содержание школьного материала по векторам:

1) определение (через координаты – Погорелов, параллельный перенос, вектор как направленный отрезок);

2) действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное умножение);

3) понятие коллинеарных и компланарных векторов;

4) формулы разложения векторов

 

Алгоритм решения геометрической задачи:

1) Введение векторного базиса (в планиметрии 2 ненулевых, не коллинеарных вектора; в стереометрии 3 ненулевых не компланарных вектора).

2) перевести требования задачи на язык векторов (появляются нужные для решения задачи векторы);

3) разложить нужные для решения векторы по базису;

4) выполнить необходимые действия с разложенными векторами, сделать вывод, записать ответ.

 

Словарь перевода геометрических ситуаций на векторный язык:

1) длина отрезка АВ

2) найти угол между отрезками АВ и МК;

3) доказать, что отрезок AB перпендикулярен отрезку МК;

4) доказать, что отрезки параллельны;

5) точки А, В, С, принадлежат одной прямой;

6) точки А, В, С принадлежат одной плоскости;

7) доказать, что отрезок AN относится к отрезку NB как 3:7.

СФОТОГРАФИРОВАТЬ ЭТО У ДИАНЫ!!!

 

Алгоритм решения геометрической задачи координатным методом:

1) перевести требования задачи с геометрического языка на координатный (появляются нужные точки);

2) ввести удобную систему координат (в школьном курсе, как правило, декартова СК; ввести на каждой оси удобный единичный отрезок и выбрать направления осей);

3) записать координаты всех точек из условия задачи в выбранной системе координат;

4) используя формулы длины отрезка в координатах, векторные формулы с применением координат выполнить необходимые вычисления;

5) вывод, ответ.

 

Алгоритм решения координатно-векторным методом:

1) перевод условия задачи, как правило, на язык векторов;

2) выбор в качестве базисных взаимно ортогональных единичных векторов (фактически введение ортогональной системы координат);

3) нахождение координат всех нужных для решения задачи векторов; т.е. разложить нужные вектора по выбранному базису;

4) выкладки, выводы, ответ.

 

Те же геометрические ситуации – перевод на координатный язык:

СФОТОГРАФИРОВАТЬ ЭТО У ДИАНЫ!!!

 

Координатным (наверное и векторным, и векторно-координатным методом) удобно задачи в кубах, в параллелепипедах.

 

 

 

Погорелов:

0) Угол между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, двугранный угол, линейный угол, трехгранный, многогранный.

1)

 

 

2) трехгранный

3)

 

4)

 

 

 

 

Выпуклый многогранный угол – если провести пл-ть через грань, то вся конструкция окажется по одну сторону плоскости (в одном полупространстве).

Рогоновский, Рыжик (пособие для углубленного изучения) – подробно говорится о многогранных углах.

Двугранный угол не считается многогранным (у него нет плоских углов).

Трехгранный угол всегда выпуклый.

 

Задача: один из плоских углов равен гамма, а два другие наклонены к этой грани под угло… угол при ребре ДС равен углу при ребре ДБ равен альфа. Найти остальные плоские углы.

Решение: надо внести в чертеж данные углы. Проецируем точку А на плоскость ВДС (получили А1).

АН перпендикулярна ДС, т.к. проекция наклонной на пл-ть перпендикулярна ДС, значит, сама наклонная перпендикулятна прямой этой.

 

Пример задачного сериала по теме «решение задач на пирамиды» (хорошая иллюстрация к проблеме классификации задач на пирамиды.

Признак задачного сериала: есть основные герои, которые остаются. И что-то варьируется.

Найти объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, у которого:

1) все боковые ребра наклонены под углом альфа;

2) все боковые грани наклонены под углом альфа;

3) одна грань, проходящая через гипотенузу, перпендикулярна основанию, а две другие наклонены под углом альфа;

4) одна грань, проходящая через больший катет, перпендикулярна основанию, а две другие наклонены под углом альфа;

5) боковое ребро, проходящее через меньший острый угол, перпендикулярно основанию, а одна из граней наклонена к нему под углом альфа;

6) боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла перпендикулярно основанию, а одна из граней наклонена к нему под углом альфа.

 

Пункт 1.

Сделайте чертеж к задаче.

Т.к. все боковые ребра одинаково наклонены, значи, все их проекции равны, точка О (точка падения высоты на основание) равноудалена от всех вершин основания, значит, О лежит в центре описанной окружности.

Пункт 4.

 

 

Какого вида понятие;

Было ли введено это понятие прежде (все этапы ее появления);

На уровне фрагмента показать, как вы вводите это понятие.\

 

Лекция 04.10.2019

Тема: методика изучения объема многогранников.

Призма.

Опр. объема (неявное, описательное, т.е. через набор аксиом).

Как и для любой геометрической величины существует явное конструктивное определения объема многогранника.

Описание процедуры измерения путем сравнения с единицами измерения и их долями.

 

Для каких геом. величин существуют инструменты для непосредственного измерения? Длина и мера угла.

В палетке и кубильяже не существует шкала.

Самая большая проблема с дачей определения, из единиц измерения – с длиной. Существует очень много единиц измерения длины. И потому что ед. измерения объема, площади, выражается через длину.

Сейчас есть лазерный кубильяж.

Неудобство измерения инструмента измерения без шкалы обусловливает вывод формул площади (через длину и угол), и объема (через площадь и длину).

Объем параллелепипеда и куба – 5-й класс, затем объемы – в 11-м классе.

Пропедевтическое знакомство с формулами, параллелепипеда и куба – 4-й 5-й класс, окончательное решение проблемы объемов – в 11-м классе. Окончательное и математически полное решение этой проблемы возможно только средствами мат. анализа.

 

Проблемы математические:

1. Обоснование формулы прямоугольного параллелепипеда. Психологические моменты: ученики не чувствуют потребности в обосновании, т.к. уже привыкли к этой формуле.

Подходы:

1) поочередно для измерения параллелепипеда (П) рассматриваются 3 случая: а) все измерения выражены натуральными числами (фактически показываем, что можно распилить на единичные кубики) – легко показать применение всех аксиом из определения объема;

б) измерения выражены рациональными числами (они в виде обыкновенных дробей хороши тем ,что приводятся к общему знаменателю), приводим все дроби к одному знаменателю, и будем пилить на кубики, равной одной доле (если знаменатель равен mpt, то единичный отрезок равен 1/mpt)

в) пусть хотя бы одно измерение будет действительным числом; мы ни как не можем выразить иррациональное число конечным числом; авторы говорят: можно показать.. можно доказать..

 

Шлыков доказывает ф-лу пр парал., …мн-ва рациональных чисел и опираясь на аксиомы из определения объема.

При докве использ. Опр рационального числа, свойства рациональных чисел, аксиомы объема (равные тела имеют равные объемы (для единичных кубиков), сумма объемов частей многогранника, не имеющих общих точек, равна объему этого многогранника.

 

2) а) рациональные числа

б) иррациональные числа: объясняем на пальцах, что все мельче и мельче, все точнее и точнее…

 

3) подход Погорелова: доказывает лемму: если у двух П-ов основания одинаковы, то отношение их объемов равно отношению их высот.

«Встраивает» меньший в больший и говорит: давайте разделим высоту на m частей… случаи различного соотношения высот; если не получилось целого количества кусочков в каждой высоте, давайте поделим мельче.. предельные переходы , но они «спрятались» только в одном измерении.

 

4) дополнительная аксиома (формула V=abc) – из нее легко получить формулу куба. Этот путь реализуют многие учителя.

5) дополнительная аксиома (формула V=a³) – из этой получить объем прямоуголького П – серьезная конструктивная проблема (трудно строить)

(либо взять это аксиомой, либо всю эту возню проделать на кубе).

 

Таким образом, если не брали дополнительную аксиому, то не получится обойтись без предельных переходов.

 

2. Получение формулы наклонного параллелепипед.

Берем прямой параллелепипед, «превращаем» его в наклонный, отрезая от него треугольную призму и переставляя ее (с помощью параллельного переноса; для обоснования равенства тел надо использовать какое-то движение). Мы знаем, что равные тела имеют равные объемы…

Наклонный параллелепипед: строим перпендикулярное сечение, так же, через параллельный перенос и аксиому объема, доказываем, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади перпендикулярного сечения на ребро. Но нужна формула объема: произведение площади основания на высоту.

Посмотреть, как с этим справился Шнеперман.

Если бы был известен принцип Кавальери, или интегралы, это бы легко решалось.

 

Еще в 18-м (?) веке была доказана теорема «Принцип Кавальери» о том, что: если два тела размещены между двумя параллельными плоскостями и площади их сечений любой третьей плоскостью, параллельной данным, оказываются равными, то объемы этих тел равны.

 

3. Получении общей формулы объема призмы

Распилить параллелепипед на 3 треугольные призмы (по диагонали основания), доказать, что они равны на основании равенства чего-то (надо найти движение, которое отображает одну призму на другую – центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда, показать, куда «переезжают» вершины), показать, что любую призму можно составить из треугольных призм, значит, ее объем равен сумме объемов треугольных призм.

У Шлыкова: Прямоугольный пар-д – Прямой пар-д – Наклонный пар-д, у которого 2 грани перпендикулярны основанию (при док-ве он достраивается до прямоугольного) – наклонный пар-д, у которого 4 боковые грани наклонные к плоскости основания (при доказательстве достраивается до наклонного предыдущего случая, доказывается, что призмы равны – Кузнецова говорит, для этого используется центр симметрии) – Треугольные призмы, их равенство, объем (центральная симметрия) – Объем n-угольной призмы (аксиомы объемов).

Используется дополнительное построение до предыдущего варианта, обоснование равенства треугольных призм через центральную симметрию (Кузнецова говорит), она есть в каждом параллелепипеде.

 

Мини проект: Измерительный эксперимент: прямой параллелепипед без верхней крышки, «полунаклонный», наклонный параллелепипед – все без крышек. Сравнить их объемы, насыпав крупы.

 

Практика 15.10.

Полное решение стереометрической задачи должно содержать:

1) Описание всех дополнительных построений;

2) обоснование всех геометрических особенностей чертежа;

3) вычислительные выкладки.

Эти этапы могут быть записаны вперемежку по мере решения или в одном из двух вариантов:

а) сначала выкладки, потом геометрия;

б) наоборот.

 

Лекция 18.10.

Тема: Методика изучения объема пирамиды.

В учебных пособиях встречаются 2 подхода к введению формулы объема пирамиды.

1. Использование определенного интеграла (располагаете пирамиду вдоль оси, рассматриваете сечение, оно подобно основанию….)

2. Использование принципа Кавальери (применяется в тех случаях, когда интегралы не введены):

Сначала обосноввывается лемма: треугольные пирамиды, имеющие равные площади оснований и одинаковые высоты, имеют равные объемы.

В этой формулировке фактически конкретизирован принцип Кавальери: Если между 2-мия параллельными пл-тями размещены 2 тела, которые устроены так, что при любом параллельном переносе этих пл-тей площади сечений ими тел оказываются равными, то объемы этих тел равны».

Вставить чертеж.

(Претензии к учебным пособиям: довольно часто в учебных пособиях чертежи к этой лемме не корректны – изображаются фактически равные пирамиды (визуально они выглядят равными)).

Доказательство опирается на использование уже известной формы объема призмы и присутствующие в неявном виде предельные переходы.

Строим ступеньки (см у Дианы). Получим:

Объем первой пирамиды больше объема внутреннего ступенчатого тела, но меньше объема внешнего ступенчатого тела. Аналогично для второй пирамиды. Объемы внутренних и внешних ступенчатых тел для обеих пирамид равны, не зависимо от количества ступенек. Пусть количество ступенек n стремится к бесконечности….

 

Затем теорема: произвольную треугольную призму можно разделить на 3 пирамиды, имеющие равные объемы.

Вставить фото.

Объемы пирамид А1СВВ1 и А1СС1В1, так как площади треугольников СВВ1 и СС1В1 равны (по свойству параллелограмма), а высота одна и та же.

Объемы пирамид А1АВС и СА1В1С1 тоже равны (основания равны, высоты равны).

Пирамида СА1В1С1 – это пирамида А1СС1В1; таким образом, объемы всех 3-х пирамид равны. Значит, объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.

 

Таким образом получаем формулу объема для треугольной пирамиды и далее – для любой пирамиды как суммы треугольных пирамид.

 

Методика изучения объемов тел вращения.

В школьном курсе под телами вращения понимают: прямой круговой

1. При отсутствии интегралов для вывода формул тел вращения используются уже известные формулы объемов призмы и пирамиды и соответствующие рассуждения про последовательности вписанных и описанных многогранников, и значит, неизбежно присутствуют предельные переходы в неявном виде.

2. Использование общей интегральной формулы для объема тел вращения: V = Пʆf²(x)dx.

 

Цилиндр.

См у Дианы чертеж.

Начинаем вписывать в цилиндр и описывать вокруг него призмы: треугольную, потом 4-х угольную, 5-ти угольную и т.д. Рассуждения: объем цилиндра больше вписанной n-угольной призмы, но меньше объема описанной n-угольной призмы. В пределе получаем то, что на до, на уровне интуитивных рассуждений.

Аналогично для конуса – вписываем и описываем правильные пирамиды (правильные – потому, что так удобнее).

Шар – вписывать и описывать многогранники, их можно разбить на пирамидки.. чем больше граней.. предельный переход…

Сфоткать вывод интегральных формул у Дианы.

 

Нельзя использовать интегральную формулу для вывода объема цилиндра, чтобы не получался замкнутый круг. Т.к. общая интегральная формула выводится на основании формулы объема цилиндра. Поэтому формула объема цилиндра выводится с помощью предельных переходов.

 

Методика изучения правильных многогранников.

Эта тема завершает изучение многогранников, дается в ознакомительном порядке.

Древние греки обожествляли правильные многогранники, называли их «платоновы тела».

Пр мног – выпуклые многогранники, грани к-рых – правильные многоугольники и при каждой вершине сходится одинаковое количество плоских углов.

Из каких правильных многоугольников можно составить многогранные углы?

Можно составить из правильных треугольников 3 многогранных угла – 3-х, 4-х, 5-тигранный. Из квадратов – 1 многогранный (4-хгранный). И еще пятиугольник.

Сколько существует правильных многогранников.

 

ДЗ по пирамидам ответы препода.

2. Методика обучения решению стереометрических задач. Классификация задач на пирамиды

а) Методика обучения созданию графической модели при решении задач на пирамиды (рекомендации по соблюдению требований черчения; последовательность изображения элементов конструкции; роль выносов фрагментов чертежа во фронтальную плоскость).

Пользуемся 3-мя линиями: сплошная основная (толстая), штриховая, сплошная токая.