Условие равновесия произвольной плоской системы сил

 

1. При равновесии главный вектор системы равен нулю (F_г = 0).

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

где F_kx и F_ky — проекции векторов на оси координат.

 

2. Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где: А и В— разные точки приведения.

 

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

 

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и до­статочно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил систе­мы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма момен­тов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

 

 

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно соста­вить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия.

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

 

Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.

 

 

Занятие 6. (2 часа) Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Виды нагрузок и разновидности опор

Виды нагрузок

По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные.

Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной.

Часто нагрузка распределена по значительной площадке или ли­нии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.

В задачах статики для абсолютно твердых тел распределен­ную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).

 

Рис.6.1. Замена распределен­ной нагрузки равнодействующей сосредоточенной силой

q — интенсивность нагрузки;

l — длина стерж­ня;

G = ql — равнодей­ствующая распределенной нагрузки.

6.1.2. Разновидности опор балочныхсистем (см.занятие 1)

Балка — конструктивная деталь в виде прямого бруса, закреп­ленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.

Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной.

а) Жесткая заделка (защемление)(рис. 6.2)

 

 

Рис.6.2. Жесткая заделка (защемление)

Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы R_{А x} и R_Ayипарой с моментом М _R.

Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравне­ний в виде

Каждое уравнение имеет одну не­известную величину и решается без подстановок.

Для контроля правильности решений используют дополнитель­ное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например В:

б) Шарнирно-подвижная опора(рис. 6.3)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реак­ция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

 

Рис.6.4. Шарнирно-подвижная опора

в) Шарнирно-неподвижная опора(рис. 6.4)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заме­нена двумя составляющими силы вдоль осей координат.

Рис.6.4. Шарнирно-неподвижная опора

г) Балка на двух шарнирных опорах(рис. 6.5)

 

 

Рис.6.5.Балка на двух шарнирных опорах

Не известны три силы, две из них — вертикальные, следова­тельно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:

Составляются уравнения моментов относительно точек крепле­ния балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку креп­ления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение:

При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):

 

Примеры решения задач

Пример 1. Одноопорная (защемленная) балка нагружена со­средоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.

 

Решение:

1. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двумя составляющими ( R _Ау , R _{А x} ),иреактивный момент М_А. Наносим на схему балки возможные направления реакций.

Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.

В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений рав­новесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.

Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления ре­акций выбраны верно.

3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.

 

Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F , распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.

 

Решение:

1. Левая опора (точка А)— подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Правая опора (точка В)— неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Охсовмещаем с продольной осью балки.

2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецеле­сообразно.

3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:

Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее за­дача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.8 б).

4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произ­вольное).

5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде