Метод «Вращающаяся прямая».

Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f ( x ) = a х. Метод основывается на том, что параметрическое уравнение y = ax задает множество всех прямых, проходящих через начало координат.

Так как данный метод предполагает использование свойств линейной функции, то на подготовительном этапе нужно актуализировать знания об этих свойствах, подвести к графической модели параметрического уравнения y = ax. Для этого нужно проделать работу по построению графиков линейных уравнений, по нахождению коэффициентов из графика, по составлению уравнений из графиков [6]. Кроме того, нужно актуализировать знания о касательной, ответить на вопрос: при каком k график функции y = kx + b будет касательной для данной функции f ( x ), здесь k и b имеют конкретные числовые значения, найти геометрические образы решений уравнения f ( x ) = kx + b. Всё это реализуется через систему задач.

Этап обучения моделированию нужно начать с обобщения свойств линейной функции на случай произвольных коэффициентов. Опираясь на результаты предыдущего этапа можно сделать естественный переход от конкретного задания функции к параметрическому. Например, поставив вопрос: можем ли мы для данной линейной функции y = kx + b , где b фиксирован, так подобрать значения для k , чтобы график имел любой наперед заданный угол наклона (проходил через любую точку окружности с центром (0; b))? После этого нужно остановиться на геометрической модели параметрически заданной линейной функции y =а x . Далее этап обучения моделированию переходит в этап обучения работы с моделями.

Этот этап нужно начать с разбора простых задач, указав признаки, по которым мы применяем именно данный метод.

В зависимости от значений параметра a найти количество корней уравнения .

Данное выражение можно преобразовать к виду, для которого применим метод «движущаяся прямая». Так как  не является решением данного уравнения, то его можно преобразовать к виду , но для ответа на вопрос нам потребуется построить график функции , что является достаточно трудной задачей, по сравнению с построением графика функции . Изученные свойства линейной функции позволяют нам пользоваться только последним построением. Построим в системе координат график функции . При каких значениях параметра мы получим прямые параллельные ветвям графика функции ? Построим графики линейной функции для значений параметра 1 и –1 (рис. 9). Из рисунка видно, что если график функции y =а x находится между лучами, лежащими выше оси абсцисс, то уравнение имеет одно решение, если между осью абсцисс и графиком функции y = – x  – два решения, и если лежит вне указанных областей, то решений не имеет. Укажите значения параметра для названных областей.

Если выражение имеет вид, который позволяет решить задачу с параметром методом «вращающаяся прямая», то его достаточно просто преобразовать к виду, который позволяет нам решить данную задачу метолом «движущаяся прямая». Для этого достаточно поделить левую и правую часть выражения на х, следя при этом за равносильностью преобразований. Этот момент должен быть рассмотрен при решении задач для формирования умений находить более рациональный путь в том или ином задании. Относительная простота построения графика функции в случае решения методом «вращающаяся прямая» компенсируется более трудным получением ответа из графической модели, так как иногда для его получения требуется переходить к уравнению, используя производную, рассматривать характер монотонности функции, производить относительно трудные сопутствующие вычисления. Проще и нагляднее в этом отношении пользоваться методом «движущаяся прямая» и, если построение функции – не слишком трудная задача, то, скорее всего, этот метод является более рациональным. Для формирования умения выбирать более рациональный путь нужно дать задание решить обоими способами задачу с параметром. Для формирования и закрепления умений и навыков работы с графическими моделями при решении задач с параметрами нужно постепенно переходить к более сложным заданиям, в которых варьируются значения независимой переменной, условия заданий и увеличивается арсенал требующихся аналитических методов.