Использование свойств функции.

Данный метод заключается в обобщении свойств графиков функций на случай параметра. Ученики владеют методами построения функций методом сдвига вверх и вниз, влево и вправо, сжатия и растяжения. Рассмотрение этих методов в случае параметрического задания функции дает эффективный способ решения задач с параметрами. Если выражение в задании с параметром не удается привести к виду, в котором его можно решить методами, изложенными выше, то можно прибегнуть к данному методу, еще его можно применить, в случае если полученное с его помощью решение будет более рациональным, чем решение, полученное иными методами.

Подготовительный этап в обучении данному методу предполагает актуализацию знаний по построению графиков функций указанными выше способами и подведению к использованию данных способов на случай параметра. Ученики должны выполнить задания с построением функций с помощью указанных преобразований, а так же задания преобразовать графически заданную функцию f ( x ) на случай f ( ax ), f ( x a ), f ( ax ),где a и b конкретные числа. Полезно рассмотреть одну и ту же функцию для разных числовых значений, так как получившийся результат можно будет обобщить.

Этап обучения моделированию можно реализовать, опираясь на разобранный метод «вращающаяся прямая», ссылаясь на то, что метод построения графической модели параметрического уравнения y =а x лишь частный случай, опирающийся на рассмотренные ранее приёмы построения графиков, для линейной функции. Если мы имеем функции вида f ( ax ), f ( x a ), f ( ax ),где a и b параметры, то графической моделью будет множество графиков, получающихся их графика функции y=f ( x ) при помощи соответствующих преобразований. На данном этапе нужно привести серию заданий, обыгрывающих разные ситуации по построению указанных выше графических моделей функций с параметром.

Постройте в системе координат графические модели, задаваемые следующими условиями: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

После выполнения данной системы заданий, нужно перейти непосредственно к применению графических моделей для решения заданий с параметрами. Так же как и в предыдущих методах, начав с простых задач.

Найдите значение параметра, при каждом из которых имеет хотя бы одно отрицательное решение неравенство .

Данное неравенство можно решить, применив метод «неизвестное-параметр», но для того, чтобы выразить  через , потребуется раскрыть модуль и рассмотреть два случая. Воспользуемся другим способом. Перепишем исходное неравенство в виде . Графиком левой части является парабола с вершиной в точке (0; 3), ветви которой направлены вниз. Графиком правой части является «прямой угол», вершина которого имеет координаты (0; а). В зависимости от значений параметра а этот «угол» перемещается вдоль оси абсцисс (рис. 11). Исходное неравенство имеет отрицательное решение, если найдется такое отрицательное значение переменной x , для которой соответствующая точка параболы расположена выше точки на «угле». Таких точек нет если вершина «угла» оказалась правее точки с абсциссой 3 или левее точки с абсциссой  (точки вычисляются аналитически).

После разбора серии относительно простых заданий нужно перейти к более сложным, при этом нужно подобрать некоторые задания таким образом, чтобы их можно было решить другим методом, причём использование этого метода должно в некоторых случаях давать более рациональное решение. Это будет способствовать осознанному выбору методов решения, заставит ученика рассуждать на всех этапах решения задачи, поспособствует более глубокому осознанию методов.

Данный метод позволяет решить более широкий класс задач с параметрами, чем приведенные выше методы. Поэтому и работа по закреплению умений строить и работать с графическими моделями здесь будет более обширной.

Все изложенные выше методы предполагают у учеников наличие умений исследовать функции: определять монотонность, четность, ограниченность, промежутки знакопостоянства, находить экстремумы. Решение задач с параметрами графическими методами сводится в основном к применению одного из вышеприведенных или к применению комбинации из данных методов, где отдельный метод применяется для решения возникающей подзадачи. Владение данными методами и умение их рационально применять во многом определяют успешность решения задачи. Даже если указанные методы не дают ожидаемого результата, визуальная модель поможет глубже осознать и понять задачу и может подсказать путь решения.