Описание и анализ результатов опытно-экспериментальной работы

Опытное преподавание проводилось в в 8-б классе школы № 21 г. Кирова. Было проведено 5 уроков по теме «Решение задач на равномерное прямолинейное движение с использованием графических моделей».

На первом уроке были рассмотрены следующие вопросы: значения коэффициентов для графиков линейной функции, связь между линейной функцией и равномерным движением, методы задания с помощью линейной функции равномерного движения, методы построения графических моделей задач на движение.

Главной задачей в изучении первого вопроса была актуализация знаний о линейной функции для последующей интерпретации их в терминах равномерного прямолинейного движения. Коэффициент при свободной переменной линейной функции является тангенсом угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс, но ученики 8-го класса не владеют функциональным определением тангенса. Тем не менее, был рассмотрен геометрический смысл данного коэффициента для того определения, которым владеют ученики, с учетом возможной отрицательности коэффициента. Так же был рассмотрен геометрический смысл свободного члена и установлено, что его изменению соответствует параллельный перенос графика на вектор равный разности первоначального и конечного значения свободного члена. Можно было сразу раскрыть связь линейной функции и равномерного движения, но так как весь метод в целом предполагает переход к геометрической модели при решении задач, то такой подход обуславливается необходимостью установления связи между геометрической и физической трактовкой задачи.

При изучении второго вопроса учащимся была поставлена задача выяснить, какое движение называется равномерным и прямолинейным? Ответ отражал суть рассматриваемого понятия, но формулировка была нечеткой. Поэтому было дано определение: «Тело движется равномерно, если за любые одинаковые промежутки времени оно проходит одинаковые промежутки пути, прямолинейно – если траектория движения тела прямая».

Опираясь на это определение, в результате совместной работы со школьниками было выяснено, что путь, пройденный телом, пропорционально зависит от времени. Значит, если в качестве независимой переменной взять время, то путь будет линейной функцией от времени.

Далее был раскрыт физический смысл коэффициентов линейной функции. Физический смысл коэффициента при переменной был рассмотрен на том же изображении, что и геометрический. Так как рассмотрение геометрического смысла этого коэффициента опиралось на прямоугольный треугольник, то на этом этапе перед учащимися встала задача дать геометрическую трактовку катетов этого треугольника (для того чтобы выяснить, что означает их отношение), если график изображен в координатной плоскости «время-путь». Ученики достаточно успешно справились с этой задачей, но была необходимость в некоторых уточнениях. Таким образом, мы выяснили, что с одной стороны коэффициент при неизвестном в линейной функции – это скорость, с другой – тангенс соответствующего угла.

Так как выяснение этого вопроса осуществлялось на графике проходящим через начало координат, то учащимся было рассказано, что данный рисунок подразумевает, что путь начал отсчитываться одновременно с началом отсчета времени и задан вопрос: «Что означает параллельный перенос данного графика?». Был дан достаточно полный ответ, но он копировал структуру построения предложения для рассмотренного случая. Пришлось перефразировать данное предложение, и учащимся был дан следующий ответ с опорой на соответствующее изображение: «Данный график предполагает, что на момент отсчета времени движущийся объект уже прошел какой-то путь». Далее с опорой на геометрическую трактовку было установлено, что этот пройденный путь соответствует свободному коэффициенту аналитического задания линейной функции.

Таким образом была установлена связь между равномерным движением и линейной функцией и раскрыта связь между геометрической и физической трактовкой линейной функции.

В итоге учащиеся знали, что всякому равномерному прямолинейному движению соответствует линейная функция. Кроме того, было установлено обратное, что всякая линейная функция может быть интерпретирована как равномерное движение, причем скорость этого движения равна тангенсу угла наклона графика к положительному направлению оси абсцисс или коэффициенту в аналитическом задании функции, а свободный член равен пройденному на момент начала отсчета пути.

Из всего сказанного выше непосредственно следовали методы задания линейной функции по словесному описанию движения. Было рассказано, что если нет дополнительных условий, то мы предполагаем, что путь отсчитывается одновременно с отсчетом времени, т. е. график движения проходит через начало координат. Значит, если нам дана точка координатной плоскости, где одно значение – время, а другое – путь, то для того, чтобы построить график достаточно через эти точки провести прямую, аналитическое задание которой опирается на геометрические соображения, изложенные выше. Если мы имеем скорость движения, то график – прямая с соответствующим тангенсом угла наклона, проходящая через начало координат. Если в условии оговорено дополнительно, что на момент отсчета времени тело прошло какой-то путь, то в предыдущих методах изменяется только то, что график проходит через начало координат. При рассмотрении этого вопроса закладывается умение выбирать точку отсчета. Кроме того, было сформулировано правило выбора положительного направления пути: «если в условии есть два объекта движущихся навстречу друг другу, и мы выбрали движение одного в положительном направлении, т. е. функция его пути является возрастающей, то другой движется в отрицательном направлении, значит, и скорость его имеет отрицательное значение, откуда следует, что угол наклона графика будет больше прямого (установлено при рассмотрении тангенса).

Далее все эти правила рассмотрены на конкретных примерах и учениками самостоятельно решены задачи по построению графиков.

Задачи содержали конкретные числовые значения, задающие линейные функции. Варьировались только условия, которым соответствовали изменения графиков, отрабатывалось умение выбирать положительное и отрицательное направление движения.

Ученики справились со всеми заданиями, они показались им легкими. Но основной целью урока было показать, что всякое равномерное прямолинейное движение имеет свою графическую модель, геометрия которой описывает все величины, и научить строить эту модель для конкретных данных. Цель была достигнута.

Второй урок предполагал выполнение работы по построению схематизированных моделей, т.е. таких моделей, построение которых не опирается на конкретные числовые данные, но отображает условия задачи. Так же на этом уроке были разобраны решения задач первого типа, причем графические модели этих задач были построены на первом этапе урока.

Перейти к схематизированным моделям после построения моделей для конкретных случаев оказалось достаточно просто, так как на них ученики научились отображать основные моменты, а именно встречное движение двух объектов, поняли, как отражается на графике условие того, что один объект двигался быстрее другого. Только у некоторых учеников вызвало затруднение построить график одного объекта, движущегося на встречу другому. Это затруднение связанно с тем, что для конкретных числовых данных, точка на координатной плоскости, из которой начинал движение этот объект, была определена, а в данном случае ее нужно было изображать условно. Но эти трудности были преодолены и все ученики владели методами построения графических моделей задач. Далее была проведена работа по интерпретации моделей, ученики находили геометрические образы данных задачи, неизвестных, отвечали на разные вопросы об условиях задачи, ответы на которые можно получить, опираясь на графические модели.

Данная работа так же не вызвала у учащихся существенных затруднений, и поэтому мы перешли к решению задач.

Первой разобранной задачей была задача 6, приведенная во втором параграфе главы 2. Ученики предварительно на предыдущем этапе урока, строили ее модель, но модель они строили по условию, вопрос задачи, к тому моменту, не был сформулирован. После того как был поставлен вопрос, некоторые ученики высказали предположение, что данных задачи недостаточно. Но геометрическая модель указывала на обратное, так как величины данных однозначно определяли размеры отрезка, длину которого требовалось найти. На это было указано и поставлен вопрос, как найти длину этого отрезка. Вопрос вызвал затруднение, но после того как было предложено рассмотреть подобие треугольников, метод решения был найден за достаточно короткий период. Данное затруднение связанно с тем, что обращение к геометрии в подобных случаях является новым, даже неожиданным шагом. У учеников данный метод вызвал интерес, так как решение получено достаточно просто, хотя в начале высказывались предположения о том, что задача неразрешима. С другой стороны у них оставались сомнения в правильности результата в связи с тем, что если не обращаться к графической модели, то условия задачи кажутся недостаточными. Поэтому было рассмотрено решение, не опирающееся на графическую модель, для того, чтобы подтвердить результат и оценить преимущества данного способа.

После того как был рассмотрен второй метод решения, были сформулированы основные этапы решения задачи с применением графических моделей. К ним относятся: 1) построить графическую модель по условию задачи, 2) найти геометрический образ данных величин и записать их на рисунке, 3) найти геометрический образ неизвестного и перейти к соответствующей геометрической задаче 4) от геометрической задачи перейти к математической модели, 5) решить полученное уравнение получить ответ, 6) проверить результат, записать ответ.

После этого на данном уроке было решено еще две задачи. Ученики быстро справились с решением этих задач.

Как показали ответы у доски, решение было полным, описан каждый этап решения, осознано использовались результаты каждого этапа решения, все выводы по ходу решения были обоснованными. На этом уроке ученики успешно овладели методами решения задач первого типа. Это можно объяснить следующими причинами: так как класс математический, то он является достаточно сильным, и с геометрическими задачами, которые они получали на третьем этапе решения, они успешно справлялись; сам метод вызвал у них интерес, это было видно по динамике их работы; этапы решения применялись осознано, так как каждый этап естественно следует за предыдущим, все данные представлены в наглядном виде, что упрощает анализ задачи.

Целью третьего урока было закрепление умений и навыков в решении задач первого типа и обучение решению задач второго типа.

Первой части этой цели соответствовало решение системы задач первого типа. Как и на предыдущем уроке решение задач не вызвало существенных затруднений, только у некоторых учеников возникали трудности в решений соответствующих геометрических задач, но они были преодолены.

Далее было рассказано, что существуют задачи, решение которых нецелесообразно искать, применяя геометрические рассуждения, так как получающуюся при этом геометрическую задачу решить не легче, чем решить всю задачу при помощи рассуждений, оперирующих терминами движения. Тем не менее, графическая модель является существенным подспорьем в деле решения такой задачи. Все это было представлено при решении конкретной задачи второго типа.

Первой из таких задач была задача 7 второго параграфа главы второй. Было рассказано, что длину искомого отрезка хотя и можно найти, применяя геометрические рассуждения, но сама по себе геометрическая задача будет сложной, придется применить метод координат. Тем не менее, опираясь на графическую модель, мы можем получить некоторые факты, при помощи которых перейти к математической модели.

Решение задачи проводилось на доске совместно с классом. Было предложено весь путь обозначить за единицу. Далее были поставлены наводящие вопросы, например: «Что можно сказать о совместном пути, пройденном велосипедистом и пешеходом, к моменту первой встречи?». Ответы на эти вопросы позволили сформулировать утверждения, следующие из условия, в виде, удобном для составления системы уравнений. Получение утверждений опиралось на графическую модель, в которой их справедливость была представлена наглядно. Было рассказано, что этапы решения задачи этого типа те же, но в отличие от задач первого типа мы не решаем геометрическую задачу, а приходим к математической модели, опираясь на графическую модель.

Далее следовало самостоятельное решение задач. Нужно отметить, что, в отличие от задач первого типа, данные задачи вызвали затруднения в решении. Это связанно с тем, что графическая модель здесь играет вспомогательную роль, она не приводит непосредственно к математической модели, а только помогает найти путь к ее построению, каждый раз рассуждения содержат новые отличительные особенности. Но данный подход упрощает поиск решения задачи, так как вся информация представлена наглядно и помогает проводить анализ задачи, переходить к математической модели. Кроме того, использование графической модели помогает осознанно искать путь решения, так как наглядно раскрывает связи между данными и неизвестными задачи, что непосредственно приводит к математической модели.

Несмотря на возникшие затруднения, благодаря некоторой помощи учащимся, задачи, которые были запланированы на этот урок, были решены. Были заданы домой достаточно сложные задачи данного типа для того, чтобы приобретенные умения были закреплены и отработанны. К следующему уроку не все ученики решили весь набор задач, данных домой, все решения были рассмотрены на доске, причем их рассказывали ученики их решившие, решения были полными, ход рассуждений ясный и основательный.

Четвертый урок предполагал решение задач, причем заранее не оговаривалось, какой тип имеет конкретная задача. Ученикам нужно было самим понять, какой метод применим к данной задаче. Это было сделано для того, чтобы ученики сами научились различать задачи по типам.

Как и на предыдущих занятиях, ученики успешнее справлялись с задачами первого типа. Но у некоторых возникали трудности и при решении этих задач, связанные с тем, что они не могли понять какого типа задачи, и, следовательно, не знали каким образом действовать. После совета рассмотреть некоторые фигуры или отношения ученики находили метод решения задачи. Многие ученики сами определяли, какой тип имеет задача, а некоторым достаточно было наводящих вопросов. В основной своей массе все ученики справились с задачами, каждое решение было рассмотрено на доске, причем решения были рассказаны учениками. Каждый шаг решения был аргументирован, аргументация была достаточно грамотной обоснованной и во всех случаях ссылалась на графическую модель.

Домой были заданы задачи обоих типов.

Целью пятого урока было проведение самостоятельной работы, для оценки умения решать задачи на равномерное прямолинейное движение. Прежде чем перейти к самостоятельной работе, были разобраны решения задач, заданных домой. Были рассмотрены основные моменты, оговорены этапы решения задач с использованием графических моделей, требования к обоснованиям получаемых фактов. После чего все ученики получили самостоятельную работу. Она состояла из двух вариантов и содержала три задачи, две из которых были первого типа.

Как показали результаты самостоятельной работы, все ученики справились с задачами первого типа, с задачами второго типа не справились пять учеников, причем трое в результате ошибки получили неверный ответ. Это достаточно высокий результат, если учесть, что задачи подобного рода являются сложными и плохо решаются школьниками выпускных классов. Этот результат говорит о том, что данный метод визуализации способствует формированию умений решать задачи. Кроме того, эти умения являются осознанными. Под осознанностью решения задачи понимается систематичность и последовательность в поиске пути решения задачи, логичность и обоснованность рассуждений, понимание роли и значения каждого этапа решения. Как показывает анализ самостоятельных работ, выполненных учащимися, все получаемые в процессе решения уравнения обоснованны, причем в основном благодаря графической модели. Обоснования достаточно грамотно изложены, присутствует последовательность в рассуждениях, этапы решения следуют друг за другом в соответствии с принципом решения задач данным методом.

Применение данного метода решения задач увеличивает разнообразие форм мыслительной деятельности. В начале имеем текстовую задачу на движение, затем в результате построения графической модели получаем геометрическую интерпретацию задачи, причем нужно определить возможность решения задачи только с помощью геометрии, в зависимости от этого перейти к математической модели, проверить результат. Таким образом, увеличивается количество операций направленных на решение задачи, что и влечет за собой увеличение разнообразия форм мыслительной деятельности.

Как показывает учебная работа школьников, их реакция на способы решения задач, данный метод является хорошим средством развития и повышения интереса к математике. Формулировки задач не подводит к методу решения задачи, многим ученикам кажется очень сложным переход к математической модели. Но графическая модель упрощает данный переход. Если при этом удается перейти к математической модели только с помощью геометрии, то умение решать геометрические задачи переходит в умение решать текстовые, а это существенно упрощает задачу. Несоответствие между предполагаемой сложностью и сложностью решения, неожиданность подхода при решении вызывает интерес учащихся, желание действовать самостоятельно. Если задача не предполагает геометрического решения, то интерес в данном случае может быть вызван самим ходом рассуждений, так как он становится наглядным и понятным. Причем понятными становятся не только сами по себе этапы рассуждения, а общий способ действия в таких ситуациях.

Заключение

Применение методов визуализации в процессе обучения школьников математике способствует развитию умения решать математические задачи. В результате чего повышается эффективность обучения математике. Способствует также более качественному и полному усвоению знаний на основании осознанности применяемых методов, способствует развитию и поддержанию интереса к предмету.

Использование методов визуализации развивает образное мышление учеников, способствует развитию абстрактного мышления, способствует также развитию различных форм мыслительной деятельности.

В данной работе рассмотрена общая методика обучения решению математических задач с использованием методов визуализации. Сформулированы правила применения визуальных моделей и требования к ним. Рассмотрены методы визуализации некоторых математических задач и методика работы с ними.

Результаты опытного преподавания проведенного с использованием методов описанных во второй главе данной работы с опорой на теоретические основы, описанные в первой главе, подтверждают положения гипотезы, показывают, что данная тема актуальна применение методов целесообразно и способствует повышению эффективности обучения.

Результаты данной работы могут быть применены учителями в процессе обучения математике, а также изучены студентами в рамках курса методики математики.