II . Сложение двоичных чисел.

Отрицательные числа в ЦВМ представлены в специальных кодах: прямом, обратном и дополнительном.

Прямой код (ПК) представляет абсолютное значение числа с закодированным знаком: « + » – «0», « - » – «1».

Обратный код (OK) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в остальных разрядах цифры заменяются на взаимообратные (0 на 1, 1 на 0), т.е. формируется поразрядное дополнение числа до единицы.

Дополнительный код (ДК) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в цифровой части числа цифры заменяются на взаимообратные и к полученному инверсному изображению прибавляется, единица в младший разряд, т.е. код является дополнением до основания СС.

Таким образом, положительные числа во всех кодах одинаковы, а отрицательные – различны.

 

Задание №1 Знаки операндов: B >0, A <0. Сложить числа в форме с ФЗ в обратном коде. Проверить результат.

 

 

При алгебраическом сложении чисел в ОК со знаковым разрядом оперируют как с разрядом цифровой части числа, а при возникновении единицы переноса из знакового разряда ее прибавляют к младшему разряду числа.

 

А =-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂

B = 723,54₁₀ =  1011010011,100010100011₂

А_пк = 1, 0101100100010011110000₂  

В_пк = 0, 1011010011100010100011₂

А_ок = 1, 1010011011101100001111₂  

В_ок = 0, 1011010011100010100011₂                                                               М = 2¹⁰

Сложение:          

1, 1010011011101100001111    

  0, 1011010011100010100011

10, 0101 1 0 11 1 10 011101 1001 0

                                           1

0, 0101101111001110110011

 

0, 0101101111001110110011_ок =  101101111, 001110110011_пк                 

101101111, 001110110011_{2 =} 367,23₁₀

Проверка:

(-356,31) ₁₀ + 723,54₁₀ = 367,23₁₀

 

Задание №2 Знаки операндов: А>0, В<0. Сложить числа в форме с ФЗ в дополнительном коде. Проверить результат.

 

 

При алгебраическом сложении чисел в ДК результат получают также в ДК, а при возникновении единицы переноса из знакового разряда ее отбрасывают.

 

А=356,31₁₀ = 101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂

А_пк = 0, 0101100100010011110000₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂

А_дк = 0, 0101100100010011110000₂

В_дк = 1, 0100101100011101011101₂

                                                                                                     М = 2¹⁰

 

Сложение:

 0, 0101100100010011110000

 1, 0100101100011101011101

 1, 1010010000110001001101  

 

1, 1010010000110001001101_дк = 1,0101101111001110110011_пк             

-101101111, 001110110011=-367,23₁₀

Проверка:

356,31₁₀ + (-723,54) ₁₀ = -367,23₁₀

 

Задание №3 Знаки операндов: А<0, В < 0. Сложить числа в форме с ФЗ в модифицированном коде (МОК или МДК). При возникновении ПРС выполнить корректирующие действия. Проверить результат.

 

 

Модифицированные обратный и дополнительный коды (МОК и МДК) имеют для изображения знака два соседних разряда: « + » – «00», « - » – «11». Эти коды используются для обнаружения ситуации ПРС - переполнения разрядной сетки. ПРС возникает при сложении чисел с ФЗ одинакового знака, когда результат операции выходит за верхнюю границу диапазона представления чисел, это приводит к потере старших разрядов.

Формальным признаком ПРС при использовании МОК и МДК является появление запрещенных комбинаций в знаковых разрядах – «01» или «10».

Для исправления результата можно либо увеличить масштаб результата, сдвинув его вправо на один разряд, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить значение младшего знакового разряда, либо увеличить масштабы исходных операндов и выполнить арифметическую операцию снова.

 

 

А=-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂

А_пк = 1, 010110010001001111₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂

А_мдк = 11, 101001101110110001₂   

В_мдк = 11,0100101100011101011101₂                 М = 2¹⁰

Сложение:

11,1010011011101100010000   

11,0100101100011101011101                

1 10,1111001000001001101101

10 - запрещенная комбинация. Увеличиваем масштаб результата, сдвинув его вправо на один разряд, а в освободившийся старший знаковый разряд помещаем значение младшего знакового разряда:

 

1, 01111001000001001101101_дк = -10000110111110110010011_пк

-10000110111,110110010011₂ = -1079,848₁₀

Проверка:

-356,31₁₀ + (-723,54)₁₀ = -1079,85₁₀

 

Задание №4 Знаки операндов: А>0, В>0. Сложить числа в форме с ПЗ. Проверить результат.

 

 

Сложение чисел в форме с ПЗ выполняется в несколько этапов. Числа с ПЗ изображаются двумя частями: мантиссой и порядком.

Чтобы их сложить, надо выполнить различные действия над мантис­сами и порядками. Поэтому в машинах предусмотрены различные устрой­ства для обработки мантисс и порядков. Мантиссы исходных операндов нормализованы.

1. Выравнивание порядков слагаемых: меньший порядок увеличивает­ся до большего, при этом мантисса меньшего преобразуемого числа денормализуется. В машине выполняется вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности порядков определяет, мантиссу какого из сла­гаемых надо сдвигать вправо и  на сколько разрядов.

2. Сложение мантисс операндов по правилам сложения чисел с ФЗ.

3. Нормализация результата, если необходимо. При этом денормализация вправо,т.е. ситуация, когда в старшем разряде двоичной мантиссы «0», требует сдвига мантиссы влево и уменьшения порядка на соответствующее количество единиц. Денормализация влево означает временное ПРС мантиссы суммы, но в отличие от чисел с ФЗ, здесь возможна коррекция: сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличе­ние на «1» порядка суммы.

При больших величинах порядков возможно возникновении истинно­го ПРС числа с ПЗ, хотя вероятность этого невелика.

Смещенные порядки используются в большинстве современных ЭВМ для упрощения процесса выравнивания порядков и их сравнения.

При этом для представления порядка применяется специальный до­полнительный код с инверсным кодированием знака: « + » – «1», « - » – «0». В результате порядки чисел увеличиваются (в ЕС ЭВМ на 2⁶=64, в СМ ЭВМ на 2⁷=128), что приводит к смещению всех порядков по числовой оси в положительном направлении. Такие смещенные порядки называют характеристиками, и так как они все оказываются целыми положительны­ми числами, то алгебраическое сложение можно производить без предва­рительного анализа знаков.

 

А=356,31 = 101100100,01001111₂

B =723,54 = 1011010011,100010100011₂

А

0

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

0

1 0 0 1

 

 

В

0

1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

0

1 0 1 0

Сложение:

  1) Выравниваем порядки, для чего выполняем их вычитание с использованием ДК

       Р_А     =  0,1001

      (Р_в )_дк =  1,0110

                1,1111

                      

(Р_А- Р_В)_дк=1,1111

(Р_А- Р_В)_пк=1,0001

Р_А- Р_В = -1, значит денормализуем А – сдвигаем мантиссу на один разряд вправо и увеличиваем порядок А на 1.

А

0

0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

0

01 0 1 0

 

           

         

 

 2) Складываем мантиссы

                  0, 0101100100010011110000

                  0, 1011010011100010100011

                  1, 0000110111110110010011

ПРС! Сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличение порядка суммы на 1.

0, 10000110111110110010011

А+В

0

1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1

0

1 0 1 1

Проверка:

10000110111, 110110010011₂ = 1079,847₁₀                     

356,31+723,54 = 1079,85