Корневые методы оценки качества

Основа корневых методов – анализ расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости

 (4)

Расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости  характеризует не только устойчивость, но и качество системы (рис. 7).

Линия 1 определяет запас устойчивости, а линия 2 определяет колебательность. Если корни расположены в области ограниченной линиями 1 и 2, то система удовлетворяет заданным s ₀ и m.

Определение длительности переходного процесса.

Корни ближайшие к мнимой оси являются определяющими (доминирующими), они определяют характер переходного процесса. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то переходный процесс имеет вид:

 (5)

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить степень устойчивости и колебательность системы с характеристическим уравнением p³+14p²+53p+130 = 0.

Решение:

1. Определяем корни характеристического уравнения

p₁ = -10 c^-1; p_2,3 = (-2 ± j3) c^-1.

2. Определяем степень устойчивости s ₀ = -2 c^-1 и колебательность m = 1,5.

Пример 2. Для заданной системы (рис. 9) определить зависимость степени устойчивости и колебательности от параметров системы.

Решение:

1. Определяем характеристический полином

D(p) = 1+K_р(p) = Tp²+p+k = 0.

2. Определяем корни характеристического уравнения

p²+ (1/T) p+k/T = 0; p_1,2 = -1/T ± j Ö (k/T-1/ 4T²).

3. Определяем:

– степень устойчивости s ₀ = -1/2T c^-1;

– колебательность m = Ö (k/T-1/ 4T²)/ 0,5 T = Ö (4kT-1).

Применение критериев устойчивости для оценки качества

Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова можно использовать не только для определения устойчивости системы, но и для оценки ее качества.

Применение критерия Михайлова для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости необходимо в характеристический полином подставить p = - s ₀ + j w вместо p = j w и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в характеристический полином подставить p = - s ₀ +j w = w (- c +j) вместо p = j w и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.

Применение критерия Найквиста для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы подставить p = - s ₀ + j w вместо p = j w и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы вместо p = j w подставить p=- s ₀ + j w = w (- c +j) и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.