Формулы полной вероятности и Байеса

Задача. В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во второй - 5 белых и 1 черный. Из каждой урны наугад вынули по одному шару, а остальные ссыпали в третью урну, из которой извлекли один шар. Найти вероятность того, что:

- из третьей урны вынут белый шар;

- из обеих урн вынули белые шары, если из третьей урны извлекли

белый шар.

Сообразно постановке задачи введем обозначения событий, фигурирующих в ней непосредственно, а также событий, отвечающих всевозможным сценариям объединения урн: А=”из третьей урны извлечен белый шар”; и - из 𝑖 -й урны (𝑖=1,2) извлечены соответственно белый и черный шар. Теперь следуя логике решения первой части задачи, изобразим дерево вероятностей с учетом всех возможных исходов при проведении трех шагового мысленного эксперимента: вынули шар из первой урны, вынули шар из второй урны, вынули шар из третьей ур-

ны. Этим опытам будет отвечать четырехуровневое дерево вероятностей, каждой ветви которого соответствует свой сценарий эксперимента с учетом всех возможных вариантов выбора шаров.

Р( )=

Р( )=

Р( )=

Р( )=

=

=

Р( )=

Р( )=

=

=

В этой схеме итоговые условные вероятности посчитаны исходя из наличного количества белых и черных шаров, отвечающего развитию начальной ситуации по тому или иному сценарию.

В качестве гипотез примем всевозможные комбинации выбора шаров, подсказанные деревом вероятностей: = (из обеих урн вынули по белому шару), = (из первой - белый из второй - черный), = , = . Эти гипотезы сформированы как произведения независимых событий и сами являются независимыми и попарно несовместными событиями, образующими полный набор, т.е. непременно происходит одно из , 𝑗=1, 2, 3, 4 и А содержится в их сумме. Таким образом, удовлетворены условия применимости формулы полной вероятности

Р(А) = + + + .

В силу независимости событий и , и , и , и имеем

Р( )= Р( )Р( ), Р( )= Р( )Р( ), Р( )= Р( )Р( ), Р( )= Р( )Р( ).

Подставляя сюда численные значения нашей задачи, получаем

Р( )= = , Р( )= = , Р( )= = , Р( )= =

и, взяв с дерева вероятностей значения условных вероятностей события А относительно принятых гипотез, окончательно находим решение первой части задачи

Р(А) = · + · + · + · = = ≈ 0.36 = 36%.

Ответ на вторую часть задачи (вероятность гипотезы ) дает формула Байеса

= = = = ≈ 0.066.

Посчитаем вероятности развития событий по остальным ветвям дерева вероятностей:

= = = = ≈ 0.016,

= = = = ≈ 0.740,

= = = = ≈ 0.178.

Таким образом, наиболее вероятной является третья сверху ветвь дерева вероятностей, хотя априори, казалось бы, таковой должна быть самая нижняя ветвь, сохраняющая в урнах все белые шары и тем самым повышающая вероятность извлечь белый шар из третьей урны. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает неочевидность выводов.

Нетрудно проверить, что

+ + + =1.

Это не случайно, а является очевидным следствием полноты набора гипотез , для которого + =Ω, и свойств условной вероятности относительно суммы несовместных событий и достоверного события

+ + + = = =1.