В О П Р О СЫ К К О Л Л О К В И У М У
Список литературы 1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Линейная алгебра, учебник 2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия, учебник 3. А.В. Ефимов, А.С. Поспелов, Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов, часть 1, М. Физмат, 2004 4. Н.И. Лобкова, Ю.Д. Максимов, Ю.А. Хватов, Математика, том 1, изд-во Политехнического университета, 2007 5. Н.И. Лобкова, М.В. Лагунова, В.М. Семенов, Математика, выпуск 1, Основы линейной алгебры и аналитической геометрии, Опорный конспект, изд-во Политехнического университета, 2005 Ч а с т ь 1 Глава 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
Тема 1. Определители. § 1. Определители 2-го и 3-го порядка. § 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка. § 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка. § 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу. § 5. Определители 4-го порядка. § 6. Определители n-го порядка. Задачи по теме 1. Тема 2. Матрицы. § 1. Виды матриц, равенство матриц. § 2. Линейные действия с матрицами и их свойства. § 3. Умножение матриц и его свойства. § 4. Обратная матрица и ее свойства. § 5. Ранг матрицы. Задачи по теме 2. Тема 3. Системы линейных уравнений. § 1. Основные понятия. § 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. § 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом. § 4. Исследование систем линейных уравнений. § 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. § 6. Однородные системы линейных уравнений. Задачи по теме 3. Ответы к задачам. 1. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И § 1. Определители 2-го и 3-го порядка. A = - матрица 2-го порядка; - элементы матрицы (i = 1,2; j = 1,2). Определитель 2-го порядка: det A = = − .
Правило: (+) (−) Пример. = 2×(-3) − 1×4 = -6 - 4 = - 10
A = - матрица 3-го порядка, - элементы матрицы (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Определитель 3-го порядка: det A = = = + + − − −
Правило: (+) (−) Пример. = + + − − − = = - + − − − = −
§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
1. Определитель не изменится, если все строки определителя заменить соответствующими столбцами или наоборот: все столбцы определителя заменить соответствующими строками. (Такое действие над строками и столбцами называется транспонированием матрицы). =
2. При перестановке двух каких-либо строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный. = −
3. Общий множитель некоторой строки (или некоторого столбца) можно вынести за «знак» определителя. (Под «знаком» определителя понимается не знаки «+» или «-», а обозначения определителя: «det» или « »). = λ×
4. Определитель, имеющий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю. = 0
5. Определитель, имеющий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю. = 0
6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю. = 0 7. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей следующего вида: = +
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на любое число. =
9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: = =
§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
A = Mij- минор элемента - это определитель матрицы 2-го порядка, полученной из данной матрицы 3-го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:
Þ M11= Þ M12 = Þ M13= Þ M21 = Þ M22= Þ M23 = Þ M31= Þ M32 = Þ M33 = Aij- алгебраическое дополнение элемента : A11 = M11 A12 = - M12 A13 = M13 A21 = - M21 A22 = M22 A23 = - M23 A31 = M31 A32 = - M32 A33 = M13 Правило (выбора знака): Пример. A =
A11 = = - 4 A12 = - = - 8 A13 = = - 10 A21 = - = 3 A22 = = 6 A23 = - = - 5 A31 = = 23 A32 = - = - 4 A33 = = - 5
§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: det A = det A = × + × + × - разложение по 1-й строке; det A = × + × + × - разложение по 2-й строке; det A = × + × + × - разложение по 3-й строке; det A = × + × + × - разложение по 1-му столбцу; det A = × + × + × - разложение по 2-му столбцу; det A = × + × + × - разложение по 3-му столбцу.
Пример. Вычислить определитель: det A = а) путем разложения по строке или столбцу; б) с использованием его свойств.
разложение по 1-й строке: det A = 1×(-4) + 2×(-8) + 3×(-10) = -4 -16 -30 = -50; разложение по 3-му столбцу: det A = 3×(-10) + 4×(-5) + 0×(-5) = -30 -20 + 0 = -50. с использованием его свойств: det A = = = = = = 1× + 0 + 0 = - 50
§ 5. Определители 4-го порядка.
A = - матрица 4 -го порядка; - элементы матрицы (i = 1, … , 4; j = 1, … ,4). Mij- минор элемента - это определитель матрицы 3-го порядка, полученной из данной матрицы 4-го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:
Þ M11= Þ M23 = Þ M42 = и т.д.
Aij- алгебраическое дополнение элемента : A11 = M11 , A23 = - M23 ,A42 = M42 ,A34 = - M34 и т.д. Правило (выбора знака): Пример. A =
A11 = = = 2× + 0 − 3× = −24 − 51 = −75 A23 = − = = − (0 − 1× + 0) = = 8 − 0 = 8 A34 = − = = − = = = − = = = − (0 − 0 + 1× ) = − = −24
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная: × + × + × + × = × + × + × + × = = × + × + × + × = × + × + × + × = = × + × + × + × = × + × + × + × = = × + × + × + × = × + × + × + ×
Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A = = × + × + × + × , i = 1, 2, 3, 4 или: det A = = × + × + × + × , j = 1, 2, 3, 4
Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков(свойства 1÷9). Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.
Пример. det A = = = = = = = = =0 + 0 + 0 + 1× × = = = = = = = = = = 0 + 1× × + 0 = = − = −(135 + 44) = −179.
§ 6. Определители n-го порядка.
A = - матрица n - го порядка, - элементы матрицы (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n). Mij- минор элемента - это определитель матрицы (n - 1) - го порядка, полученной из данной матрицы n- го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца. Aij- алгебраическое дополнение элемента .
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n- го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная: × + × + … + × = × + × + + × , i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Определитель n- го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n- го порядка на их алгебраические дополнения: det A = = × + × + … + × = × + × + + × , i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков(свойства 1÷9).
Пример. Вычислить определитель n-го порядка: det A = . Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1): det A = . Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: det A = 1×( )×( )× … ×( ) = ( )×( )× … ×( ).
Пример. Вычислить определитель n-го порядка: det A = . (Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1). Все строки прибавим к первой строке: det A = Из первой строки вынесем общий множитель: det A = ( )× Вычтем первую строку из всех остальных строк: det A = ( )× = ×( ). Задачи по теме 1. u. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
v. Вычислить определители 3-го порядка: − № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу; − № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
w. Вычислить определители 4-го порядка.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен: P(λ) = и вычислить его корни. 2. Для матрицы A = вычислить: × + × +…+ × и × + × + + × , где i ≠ j ( - алгебраическое дополнение элемента ).
Вычислить определители n-го порядка: 3. 4. 5.
6. 7.
8. 9.
10. 11. = min {i,j} 12. = max {i,j}
2. М А Т Р И Ц Ы
§ 1. Виды матриц,равенство матриц.
A m, n= - прямоугольная матрица размером m n AT n, m = - транспонированная матрица размером n m m, n = - нулевая матрица размером m n A 1, n = - матрица-строка размером 1 n A n, 1 = - матрица-столбец размером n 1 A n, n = - квадратная матрица порядка n A n, n = - верхнетреугольная матрица порядка n A n, n = - нижнетреугольная матрица порядка n D n, n = - диагональная матрица порядка n E n, n = - единичная матрица порядка n Равенство матриц.
A m, n = , B p, q = A m, n = B p, q Û
§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
К линейным действиям с матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение матрицы на число.
1. Сложение и вычитание матриц.
A m, n = , B m, n = - матрицы одинакового размера.
A+ B= - сумма матриц; A- B= - разность матриц.
Пример. A= , B= Þ A+ B= = , A- B= =
Свойство нулевой матрицы: A+ = A- = A
2. Умножение матрицы на число.
A m, n = , λ - действительное число Þ λ×A=
Пример. A= , λ = 2 Þ 2×A= 2× = .
Умножение матрицы на числа 0 и 1: 0×A= ; 1×A= A. Противоположная матрица: - A= (-1)×A Свойства противоположной матрицы: A+ (- A) = ; A- B= A+(- B).
ами (A, B, C - матрицы одинаковых размеров; λ, α, β - действительные числа):
1. A+ B= B + A(коммутативность сложения матриц) 2. (A+ B) + C= A+ (B + C) (ассоциативность сложения матриц) 3. α×(β×A)= (α×β)×A (однородность относител
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (435)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |