Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Лекция(м.а.) 26
При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла в смысле Римана неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций. Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция непрерывна на промежутке . Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом (рис. 4.16.1). Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения , но его можно будет вычислить до тех пор, пока конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, -ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать , ни вычислить . Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записи -ой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что находится не на бесконечности, а стремится к ней. Рис. 4.16.1 Определение 4.16.1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции и обозначается . Итак, по определению . В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет. Определение 4.16.2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся. Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью , кривой и прямой . Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: Следует подчеркнуть, что интеграл существует только тогда, когда существует каждыйиз интегралов и . Из сказанного выше следует, что несобственный интеграл это не предел интегральной суммы, а предел определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования. Рассмотрим пример вычисления несобственного интеграла с бесконечным пределом, который, кроме того, применяется и при решении других задач, о чем будет сказано в дальнейшем. Если , то , поэтому . Следовательно, в этом случае . Если , то , поэтому и . Аналогично, если , то . Таким образом, сходится, если и расходится, если . Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют место, в частности, в физике при вычислении работы по перемещению материальной точки с массой из бесконечности в точку под действием силы притяжения. Эта работа называется потенциалом силы притяжения материальной точки при .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (817)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |