Свойства бесконечно малых функций
Предел функции.
1. Предел функции в точке. Односторонние пределы.
Пример.
Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к А. В этом случае пишут: =А, или при . Это определение называют определением предела по Гейне (нем. математик XIX в.)
Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)
Опр. 2. Если при стремлении к x принимает лишь значения, меньшие (большие) , и при этом , то говорят об одностороннем пределе слева (справа ). Пример.
Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.
Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши. Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство . В символической форме это определение записывается так: . Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах. Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде: Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если .
Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси Ох, являющаяся ее прообразом.
2. Бесконечные пределы.
Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда или А являются несобственными точками, т.е. . Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если: .
Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если: .
Самостоятельно: сформулировать определение предела при . Опр.6. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный и пишут , если: .
Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного . 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.
Опр. Функция называется бесконечно малой при функцией, если ее предел при равен нулю: =0 .
Опр. Функция называется бесконечно большой при функцией, если ее предел при есть несобственное число: = .
Пример. Функция является: БМ при ; ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при .
Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при . Док-во. Имеем: =А . Надо доказать, что -А)=0, т.е. . Очевидно, что это условие выполнено. ▲ Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при функции : . Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если есть БМ Ф, и в некоторой окрестности точки , то функция есть ББ Ф. Если есть ББ Ф, то функция есть БМ Ф. Доказать самостоятельно, используя определение предела. 4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Свойства бесконечно малых функций. 1. Алгебраическая сумма конечного числа БМ Ф есть БМФ при . 2. Произведение БМ Ф на ограниченную в некоторой окрестности точки функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМ Ф. 3. Частное от деления БМ Ф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМ Ф. Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМ Ф из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и . Докажем, например, свойство 1. Пусть и есть БМ Ф. Докажем, что функция также есть БМ Ф. По условию для любого , а значит, и для найдутся такие числа и , что : если , то (1) если , то (2) Если в качестве взять минимальное из и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим: . Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству: . Итак, мы нашли , такое, что при всех выполняется неравенство . Это и означает, что функция есть БМ Ф. ▲
Свойства бесконечно больших функций. 1. Произведение ББ Ф на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББ Ф. 2. Сумма ББ Ф и ограниченной функции есть ББ Ф. 3. Сумма ББ Ф одного знака есть ББ Ф того же знака. 4. Частное от деления ББ Ф на функцию, имеющую конечный предел, есть ББ Ф.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть и - БМ Ф. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е. . Тогда если: 1) А – число, не равное 0 или 1, то функции и называются БМ одинакового порядка. 2) А=0, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем и обозначают: (о малое). Пример: , - БМ при х→0, 3) А= , то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем . 4) А =1, то функции и называются эквивалентными БМ , обозначается: ~ .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1977)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |