Модель потребительского выбора. Вопрос 4

Вопрос 11. Методы многоуровневой оптимизации. Центральная задача в методе Корнаи-Липтака. Экономическое содержание двойственных оценок в этой задаче.

Необходимость планирования и управления на нескольких уровнях возникает из-за необх-ти сократить непроизв потери, распределить ресурсы, повысить эфф-ть использ-я централизованных ресурсов. Такие задачи возникают в разл-х сферах соц и эконом жизни на страновом уровне (распределение бюджета между сферами экономики), на региональном (распределение ресурсов), на отраслевом (холдинговом) (распр. ответственность, риск и пр.). Для уровня предприятия (n подразделений, m централизованных ресурсов) известны методы оптимизации:

Точные: Корнаи-Липтака и Данцига-Вулфа, Приближенные: метод аппроксимации Пугачева(что-то в интернете нет ничего про метод пугачева, хз откуда он вообще).

Особенность - направленность информационных потоков. Например, в методе К-Л уровень эфф-ти централизованного ресурса j для предприятия с индексом i (1,n) определяется на нижнем уровне (уровне подразделения), а цель центральной задачи – перераспр-ть централиз ресурсы в те сектора, двойственная оценка которых выше. Идея: «бери, сколько хочешь, но верни адекватно взятому». В методе Д-В идея: «передай нам всё, что ты имеешь, и мы скажем, что ты будешь делать» (здесь выше транзакционные издержки, но и ниже риск).

Постановка задачи: , ,

u_i – дв. оц i-го подразделения, r_i – ресурс, выделенный i-му подразделению

Центральная задача решается отдельно для каждого ресурса.

Особенность метода К-Л: мы перераспределяем ресурсы с учетом центральной задачи:

1) Учитываем центральную задачу

2) обеспечиваем сходимость алгоритма за конечное количество итераций

Пример. Объединение, состоящее из двух предприятий, производит 4 вида продукции. Нормы затрат ресурсов на производство отдельных продуктов, прибыль от их реализации и наличие ресурсов представлены в табл.

Обозначим через хj-объем производства j-го продукта. Тогда модель в численном виде будет выглядеть следующим образом:

· расход собственных ресурсов на предприятиях I и II не превосходит их наличия

· суммарный расход общих ресурсов не превосходит лимитов этих ресурсов

· выпуски продукции должны быть неотрицательны

· общий объем прибыли по объединению должен быть макси­мальным

t — индекс предприятия, jt,— индекс вида продукции, производимой t-м предприятием

it, — индекс ресурса, «собственного» для предприятия t

i — индекс вида ресурса общих ресурсов объединения (i = 1,2.....т)

Xt, — вектор выпуска продукции предприятием / (размернос­тью nt х1);

Вt, — вектор лимитов локальных ресурсов i, , потребляемых предприятием t (размерностью 1 x nt);

В — вектор лимитов общих ресурсов i (размерностью т х 1); Рt, — вектор удельной прибыли от выпуска продукции пред­приятием t (размерностью 1 х п,);

At,— матрица коэффициентов (норм) затрат локальных ресур­сов на выпуск продукции предприятием t (размерностью тt х пt): At — матрица коэффициентов (норм) затрат общих ресурсов на выпуск продукции предприятием t (размерностью т х п,).

А₁X₁ ≤ В₁

АtХt ≤ B_t

…

А_TХ_T ≤ В_T

Р1Х1 + ... + РtХt + ... + Р_ТХ_Т à max.

Блочная структура задачи текущего планирования на уровне объединения делает возможным ее расчленение на ряд подзадач существенно меньшей размерности и их взаимосвязанное реше­ние в рамках итеративного процесса. Методы решения могут быть различны.

Метод планирования на двух уровнях Корнаи -Липтака

В этом методе итеративный процесс двухступенчатой опти­мизации планов развития объединения и отдельных предприя­тий основан на корректировке выделяемых предприятиям лимитов ресурсов и заданий по выпуску продукции в натуральном выражении в соответствии с анализом и сравнением предельных эффективностей их использования на предприятиях.

Пусть исходная задача объединения по-прежнему имеет вид блочной задачи как в примере.

Разделим оба общих ресурса поровну (первый шаг)между двумя предприя­тиями:

9 + 9= 18; 15+ 15 = 30.

Получаем для первого шага две секторные задачи, их планы, значения прибыли и секторные оценки общих ресурсов .

Решаем 2 задачи симплекс методом отдельно.

Эти сведения передаются в объединение, где формируется его план, как механическая сумма планов секторов (предприя­тий), и проверяется оптимальность этого плана.

Прибыль отрасли равна 45,75 р. Эта сумма значений сектор­ных критериев оптимальности, она будет не больше, чем истин­ное значение функционала исходной задачи. При неоптималь­ном распределении общих ресурсов между секторами сумма секторных функционалов будет меньше истинного оптимума. Наша цель — найти такое распределение ресурсов, при котором сумма секторных функционалов будет равна истинному оптимуму. Для этого достаточно, чтобы двойственные оценки одноименного обще­го ресурса в различных секторах были равны между собой. При равенстве оценок эффект от использова­ния ресурсов во всех секторах одинаков и перераспределять их не нужно, т.е. план оптимален.

Теперь надо перераспределить ресурсы не поровну, а оптимальным способом. Для этого решается новая задача. Ищем вектор (это лимит ресурсов, выделенных предприятию для объединения). Ограничения - вектор (вектор лимитов общих ресурсов).

- вектор двойств.оценок ресурсов объединения в t- секторе