Вопрос 31 Постановка классической задачи вариационного исчисления (задача Лагранжа)
Классическая задача вариационного исчисления: среди множества функций времени – фазовых траекторий, соединяющих две фиксированные точки, соответствующие начальному и конечному моментам времени, требуется выбрать функцию, максимизирующую некоторый интеграл от заданной функции, которая зависит от фазовой координаты и времени. Рассмотрим функционал V[y]= , (1) Где - дважды непрерывно дифференцируемая функция. Граничные точки допустимых кривых закреплены: y (а) = А, у(b) = В (2). Таким образом, классическая задача вариационного исчисления ставится так: среди всех функций у(x), имеющих непрерывную производную у(х) 𝝐 С1 [а,b] и удовлетворяющих условиям (2), найти ту, которая доставляет экстремум функционалу (1). Эту задачу называют также задачей с закрепленными границами. Любую траекторию у(х) называют допустимой, если она удовлетворяет граничным условиям (2) и: y(x) – непрерывная, а y’ (x) – кусочно-непрерывная. Пусть кривая у = (х), реализующая экстремум функционала (1), имеет вторую непрерывную производную, т.е. у(х) 𝝐 С2[а, b]. Для того, чтобы функционал (1), определенный на множестве кривых у(х) 𝝐 С2[а, b], удовлетворяющих граничным условиям (2), достигал экстремума на кривой (х) 𝝐 С2[а, b], необходимо, чтобы эта кривая удовлетворяла уравнению Эйлера: его решения – «экстремали». (3) (4) Уравнение Эйлера полностью: y" Fy’y' + у' Fyy' + Fxy' — Fy = 0. Задача (4) может иметь единственное решение, может иметь множество, может не иметь ни одного. Частные случаи уравнения Эйлера. 1) F не зависит от у': F = F(x,y). УЭ принимает вид Fy = 0. (5) 2) F зависит от y' линейно, т. е. F(x,y,y') = М(х,у) +N(x,y)y'. В этом случае УЭ имеет вид (6) 3) F зависит лишь от у': F = F(y'). УЭ принимает вид y'' Fy'y' = 0 (Fy'y' 0). (7) откуда следует, что y'' = 0 и экстремалями оказывается семейство прямых линий у = С1х + С2, где C1 и С2 — произвольные постоянные. 4) F не зависит от у: F = F(x,y'). УЭ в этом случае принимает вид , следовательно, C1 (8) Уравнение (8) интегрируется путем разрешения его относительно или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производной (введением параметра и др.). 5) F не зависит явно от x: F = F(y,y'). УЭ в этом случае принимает вид 0. (9) После умножения обеих частей (9) на получаем в левой части полную производную по откуда следует существование первого интеграла уравнения (9): . где С1 — произвольная постоянная. Это уравнение уже имеет первый порядок и интегрируется или путем разрешения относительно у', или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производной. УЭ – необх.условие экстремума 1го порядка. Второго порядка – это условие Лежандра: Fy’’y’’ <=0 Еще условие Вейерштрасса. E=F(y,z’,x)-F(y,y’,x)-dF(y,y’,x)/dy’ * (z’-y’)<=0, где z – любая другая траектория. Примеры решения задач 1. Найти кривую наименьшей длины, соединяющую точки (а, А) и (b, В). Ответ задачи очевиден — это прямая, соединяющая указанные точки. Получим ее как минимизирующее решение вариационной задачи: Здесь — длина кривой, соединяющей данные точки. Функция F = зависит лишь от . Экстремалями оказываются прямые у = С1Х + С2. Подставляя полученный вид у(х) в граничные условия, находим у = , т.е. уравнение прямой, проходящей через точки (а, А) и (b, В). Наличие экстремума на единственной полученной экстремали и его тип (минимум) ясны из геометрических соображений без всяких достаточных признаков. 2. Задача о брахистохроне — кривой быстрейшего скатывания (лучше — соскальзывания) тяжелой материальной точки из одной точки плоскости в другую (понятно, что рассматриваются точки, не лежащие на одной вертикали). Эта кривая будет минимизирующим решением вариационной задачи (12)
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1045)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |