Синтез наблюдателя состояния по результатам измерений на основе решения ЛМН
Во многих случаях оказываются доступными для измерения не все, а только часть координат состояния или их комбинация. Для того чтобы иметь возможность реализовать на практике синтезированный закон управления в виде обратной связи по состоянию, требуется построить наблюдатель, вектор состояния которого будет давать оценку вектора состояния x(t) в моменты времени t. При этом управление берется в виде обратной связи по состоянию наблюдателя, т.е. . Рассматривается система (1.4) с неопределенными возмущениями и неполной информацией о векторе состояния, т.е. измеряются только компоненты вектора выхода , (2.1) где - матрица, в общем случае зависящая от времени, - вектор погрешностей измерений, для которого имеет место ограничений , (2.2) где - заданная положительно определенная матрица. Для неопределенных возмущений имеет место ограничение (1.5). Для рассматриваемой системы требуется синтезировать наблюдатель вектора состояния по результатам измерений в виде (аналога фильтра Калмана для детерминированной системы с неопределенными возмущениями) , (2.3) где матрица L коэффициентов усиления наблюдателя выбирается из условия обеспечения сходимости наблюдателя и минимума предельного множества эллипсоидальной оценки для ошибки оценивания . Выпишем уравнение для ошибки (2.4) Построим для (2.4) систему сравнения в виде . (2.5) В случае автономной системы (когда матрицы не зависят от времени) имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Предположим, что матрица A–LC в (2.5) гурвицева, т.е. , ( - собственные числа матрицы A–LC). Тогда при любых фиксированных q1, q2 таких, что эллипсоидальная оценка (2.6) где Q(t)=Qq(t) – решение матричной системы сравнения (2.5) с Qq(t0)=Q0>0, ограничена и сходится к предельному эллипсоиду , где - решение алгебраического матричного уравнения Ляпунова (уравнения равновесия для (2.5)) (2.7) В рассматриваемом частном случае линейных автономных систем, справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Решение Q* и Y* задачи минимизации Tr(Q) —> min при ограничениях , (2.8) , (2.9) где минимизация проводится по матричным переменным Q=QT, P=PTÎRn´n, YÎRn´k, и числовым параметрам q1,q2, определяет матрицу Q* минимального инвариантного эллипсоида, а также соответствующую этому эллипсоиду матрицу L=Q*Y* коэффициентов наблюдателя состояния (2.4) и параметры q1,q2. Для решения задач оптимизации с ЛМН (2.8), (2.9) применяется пакет CVX для Matlab [6]. Фрагмент программы для синтеза параметров наблюдателя представлен ниже. % Синтез наблюдателя состояния для линеаризованной системы на основе % решения ЛМН step1 = 0.05; step2 = step1; begin_val1 = 0.15; end_val1 = 0.25; begin_val2 = 0.4;% end_val2 = 0.6; min_tr_Z = 1000000; figure (4) % Оптимизация по параметрам q1 и q2 путем перебора с уменьшающимся шагом while ((step1+step2)>0.05) for q1 = begin_val1:step1:end_val1 for q2 = begin_val2:step2:end_val2 cvx_begin sdp variable Qs(n1, n1) symmetric; variable Ps(n1, n1) symmetric; variable Ys(n1, 1) ; minimize( trace(Qs)) subject to Qs >= eye(2)*1e-8; [A'*Ps + Ps*A-Ys*Cy-Cy'*Ys'+(q1+q2)*Ps Ps*D Ys; D'*Ps -q1 0; Ys' 0 -q2*R2_1]< 0; %условие асимптотич устойчивости [Qs eye(2); eye(2) Ps]>=0.0; cvx_end Qsf = double(Qs) Psf = double(Ps) Y=double(Ys); L=Qsf*Y trZ=trace(Qsf); if min_tr_Z > trZ min_tr_Z = trZ Q_min = Qsf; P_min = Psf; L_min=L; q_min1 = q1 q_min2 = q2 end; end; step1= step1*0.5; begin_val1 = q_min1-2*step; end_val1 = q_min1+2*step; end; step2= step2*0.5; begin_val2 = q_min2-2*step; end_val2 = q_min2+2*step; end; QL=Q_min PL=P_min L1=L_min q01=q_min1; q02=q_min2; AL1=A-L1*Cy; eig(AL1) E = ellipsoid(QL); %pEs = projection(E, BB); plot(E, 'r');grid on;hold on; Для рассматриваемого примеры с использованием указанной программы в пакете MatLab были получены значения параметров q1 =0.25 q2 =0.6, матрицы , , , при которых достигается минимум следа матрицы предельного инвариантного эллипсоида для ошибки оценивания. При этом матрица A–LC наблюдателя имеет собственные значения -–3.7390 ± 3.35302i, что говорит об ее гурвицевости. Предельный инвариантный эллипс, ограничивающий ошибку оценивания, показан на рисунке 2.1. Рисунок 2.1. Минимальный инвариантный эллипс для ошибки оценивания С помощью вызова функции Observ_Mayat_Integr_01, текст которой представлен ниже % моделирование нелинейной системы с наблюдателем x0 = [5; 2;0;0;]; x=Observ_Mayat_Integr_01(n,x0,w0,K1,L1,Cy,0,5,7); function y= Observ_Mayat_Integr_01(n,x,w0,K1,L1,Cy,t0,tk,k) %Функция для интегрирования нелинейной модели маятника с регулятором и наблюдателем [t,x] = ode45(@(t,x) Prav_Nabl_NL_Mayat_1(t,x,w0,K1,L1,Cy),[t0 tk],x); % hs = size(H); y = []; nh=length(x(:,1)); t(nh) figure (k) plot(t,x(:,1),'b');grid on;hold on; plot(t,x(:,2),'r');grid on;hold on; plot(t,x(:,3),'y');grid on;hold on; plot(t,x(:,4),'g');grid on;hold on; y=[x(nh,1); x(nh,2);x(nh,3);x(nh,4)]; end
получены переходные процессы в исходной системе с регулятором и наблюдателем как без учета внешних возмущений и погрешностей измерений (показаны на рисунке 2.2), так и при действии внешнего возмущения w=-sin(2*cos(3*t)) и погрешностей измерений, задаваемых датчиком случайных чисел (показаны на рисунке 2.3). Рисунок 2.2. Переходные процессы в исходной системе с регулятором по состоянию (синий и красный) и наблюдателе (черный и зеленый) при отсутствии возмущений и погрешностей измерений Рисунок 2.3. Переходные процессы в исходной системе с регулятором по выходу наблюдателя (синий и красный) и наблюдателе (черный и зеленый) при действии возмущений и погрешностей измерений Для вычисления правых частей исходной системы дифференциальных уравнений и уравнений наблюдателя использовалась функция Prav_Nabl_NL_Mayat_1, текст которой представлен ниже.
function dx=Prav_Nabl_NL_Mayat_1(t,x,w0,K1,L1,Cy) % Вычисление правой части исходной нелинейной системы с % регулятором, заданным матрицей K1, наблюдателем с матрицей L1, и внешними возмущениями, заданными переменной w x1=[x(1);x(2)]; xn=[x(3);x(4)]; u=K1*xn; w=-sin(2*cos(3*t)); ksi=(0.5-rand(1))/5000; y=Cy*x1+ksi; dx1=x(2); dx2=-w0*sin(x(1))+u+w; dx3=x(4)+L1(1)*(y-Cy*xn); dx4=-w0*x(3)+u+L1(2)*(y-Cy*xn); dx=[dx1;dx2;dx3;dx4]; end
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (959)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |