Задача ограниченности относительно заданных множеств
Пусть заданы в виде эллипсоидов , , (R0, R(t) – известные симметрические положительно определенные матрицы) – соответственно множество начальных состояний, множество допустимых состояний в моменты времени , а также множество допустимых внешних возмущений W. Определение 4.1. Будем говорить, что система (1) обладает на свойством ограниченности относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t)), W] (при отсутствии неопределенных внешних возмущений – свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t))]), если для всех существуют на решения системы (1) с начальными данными , для которых имеет место при всех и всех нелинейностях из (4.2) (соответственно при всех и всех нелинейностях их (4.2)). Отметим, что определении 1, в отличии от общепринятых определений устойчивости и ограниченности, указываются конкретные множества начальных данных и множества, которым должны принадлежать траектории системы с этими начальными данными. В этом отношении определения аналогичны определениям устойчивости и ограниченности на конечном интервале времени, активно изучаемые в последние годы [21-24 и др.]. Теорема 4.1. Система (4.1) является ограниченной на интервале относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t)), W], если при некотором существуют положительно определенные симметрические матрицы , и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству , (4.4) и следующим ограничениям , . (4.5) При отсутствии неопределенных внешних возмущений система будет обладать на интервале свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t))], если существуют симметрическая положительно определенная матрица и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству , (4.6) и ограничениям (4.5). Следующая лемма распространяет достаточное условие ограниченности линейной системы на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2), при внешних возмущениях из (4.3). Лемма 4.1. Для того чтобы система (4.1) являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t)), W] достаточно, чтобы существовала симметрическая матрица P(t) такая, что (4.7) , (4.8) . (4.9) 4.3. Задача подавления начальных отклонений и внешних неопределенных возмущений с оценкой качества по H¥ критерию Пусть в начальный момент времени состояние системы является неопределенным, известно, что оно принадлежит эллипсоиду , (4.10) где – заданная положительно определенная симметрическая матрица. Предполагается, что пара (A(t),D(t)) –управляема, а матрица C(t) является матрицей полного ранга строк. Определение 4.2. Система (1) с нелинейностью, удовлетворяющей (2), и внешними возмущениями w(t)ÎL2 обладает на заданном интервале H¥ свойством со степенью g, называемой H¥ границей, если , (4.11) где g - заданное положительное число, S0, ST – заданные положительно определенные симметрические матрицы. Задача заключается в том, чтобы определить H¥ границу, т.е. определить степень подавления начальных отклонений из (4.10) и внешних возмущений из (4.3) при любой нелинейности из (3.2). Теорема 4.2. Система (4.1) при L2 возмущении обладает H¥ свойством (4.11), если для заданных g>0, S0, ST>0 существует непрерывно дифференцируемая матричная функция Q(t)>0 с граничными условиями , , удовлетворяющая при некотором и всех дифференциальному линейному матричному неравенству . (4.12) Следующая лемма распространяет достаточное условие для того чтобы линейная неавтономная система с вектором управляемого выхода, определяемым в виде , обладала H∞ свойством, на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2) при внешних возмущениях из (4.3). Лемма 4.2. Система (1) с обладает H¥ свойством (4.11) при L2 возмущении, если для заданных g>0, S0, ST>0 существует непрерывно дифференцируемая симметрическая матричная функция P(t) такая, что , (4.13) , (4.14) . (4.15) Доказательство. Пусть . Если условия (4.13) - (4.15) выполняются, мы имеем так что . Это завершает доказательство. Объединением условий лемм 4.1 и 4.2 получаются достаточные условия для того, чтобы система (1) с одновременно обладала ограниченностью относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t)), W] и H¥ свойством. Теорема 4.3 Система (1) с являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R0), E(R(t)), W] и обладает H¥ свойством (4.11) при L2 возмущении, если для заданных g>0, R0>0,S0>0, R(t)>0, ST>0 существует положительно определенная симметрическая матрица P(t) такая, что , , , где . Следует отметить, что лемма 2 и теорема 3 распространяет соответствующий результат, полученный в [6] для линейной неавтономной системы с внешними ограниченными по норме возмущениями, на случай неавтономной системы с нелинейностями из (4.2) при L2 возмущениях.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (627)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |