Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Физических величин с не коммутирующими операторами




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Рассмотрим две физические величины А и В, коммутатор операторов которых отличен от нуля: . Докажем теорему.

Теорема: Если операторы и не коммутируют, то произведение дисперсий соответствующих физических величин не меньше четверти квадрата модуля среднего значения коммутатора их операторов , т.е. .

Доказательство: Введем в рассмотрение операторы

, , (12.1)

и примем во внимание, что статистический разброс значений физических величин определяется дисперсией:

, (12.2)

где произвольный вектор состояния квантовой системы. Для определения связи с дисперсий (12.2) рассмотрим векторы гильбертова пространства

(12.3)

Согласно неравенству Буняковского-Коши, которое справедливо и в гильбертовом пространстве, можно записать:

(12.4)

где

(12.5)

В преобразованиях (12.5) учтена эрмитовость операторов и . Квадрат модуля скалярного произведения векторов и преобразуется к виду:

(12.6)

Тогда неравенство (12.4) примет вид:

(12.7)

Для определения среднего значения преобразуем оператор :

(12.8)

где и эрмитовы операторы. На основе (12.8) находим:

(12.9)

подставляя (12.9) в неравенство (12.7), получим откуда тем более справедливо неравенство



т.е. (12.10)

что и требовалось доказать: произведение дисперсий физических величин А и В с некоммутирующими операторами не меньше четверти квадрата модуля среднего значения коммутатора этих операторов

Извлекая корень квадратный из соотношения (12.10), получим:

. (12.11)

Обычно для упрощения записи это неравенство записывается в виде:

(12.12)

где .

Для случая, когда , , выражение (12.12) дает ранее полученное соотношение неопределенностей (11.13’).

Итак, соотношения неопределенностей, которые существуют между некоторыми физическими величинами, полностью определяются коммутаторами этих операторов этих величин.

Отсюда, в частности, следует вывод, что если операторы физических величин попарно коммутируют друг с другом, то эти физические величины могут одновременно иметь определенные значения. Это условие одновременной измеримости физических величин доказано в §9.

Физическая сущность соотношений неопределенностей состоит в том, что для квантовых систем, в отличие от классических, не имеет смысла требовать одновременно определенных значений всех физических величин, что обусловлено двойственной природой объектов микромира. Существование соотношений неопределенностей для физических величин в квантовой механике обусловлено не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем.

Таким образом, соотношения неопределенностей являются математическим выражением наличия у частиц (микрообъектов) как корпускулярных, так и волновых свойств.




Читайте также:
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (566)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.021 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7