Анализ строения конечных групп
Рассмотрим группы вращений правильных многоугольников. Если Рm-правильный m-многоугольник, то рассматривается совокупность всех вращений и всех осевых симметрий, переводящих многоугольник Pm в себя. Указанные преобразования можно рассматривать как подстановки множества вершин многоугольника Рm. Группа диэдра правильного треугольника. Имеется три вращения на углы 1, 2, 3 (рис.1.а) и три симметрии относительно трёх осей симметрий правильного треугольника (рис.1.б), переводящих правильный треугольник в себя.
Вращение на угол 1 определяет тождественную подстановку вершин, вращения на и определяют подстановки (1 2 3) и (1 3 2) соответственно. Далее, три возможные симметрии определяют три транспозиции (2 3), (1 3),(1 2).Указанными шестью подстановками исчерпываются всевозможные подстановки множества вершин треугольника. Пусть для определённости, а1=Е=е, а2=(1 2 3), а3=(1 3 2), а4=(2 3),а5=(1 3),а6=(1 2).
Обозначим а1=е=1, а2=(123)=а, а3=( 132)=а2, а6=(12)=в. Тогда ав=а4=(23), а2в=а5=(13), ва=а5=(13), в2=а3=е. Таким образом, элементами 1, а, а2, в, аb, а2b исчерпываются элементы рассматриваемой группы. Все они записываются как произведение степеней элементов а, b, они называются образующими элементами. И в данном случае образуют симметрическую группу шестого порядка. Симметрическая группа третьей степени S3= {е, а, а2, в, аb, а2b}; Генетический код группы: а3=b2=е, bа=а2b.
Таблица 1 - Таблица Кэли элементов группы S3
Таблица 2 - Таблица сопряжения элементов группы S3.
Классы сопряженных элементов группы S3. {е}; {a, a2}; {b, ab, a2b}. Пример заполнения таблицы 1: а а=а2, bа2=bаа=а2bа=а2 а2 b= а3аb= еаb=аb Докажем, что это группа: 1. Замкнутость, аа=а2; аb2b=а2 и т.д. 2. Ассоциотивность, (аbb) а=а2, аb(bа)=аbа2b=а2. 3. Наличие нейтрального элемента-е 4. Наличие для каждого обратного элемента (симметричного) элемента ,аа2=е, а2bа2b=е. 1. Подгруппы группы S3 . H0={е}; H1={е, a, a2}; H2={е, b}; H3={е, ab}; H4={е, a2b}; H5=S3 2.Смежные классы и индекс подгруппы H группы S3 . а S3 aHi i=0, е,…5. H1-S3= {е, a, a2} {b, ab, a2b}, 3 : H1 =2 H2-S3={е, b} {a, a2b} {a2, ab}, 3 : H2 =3 H3-S3={е, ab} {b, a2} {a, a2b}, 3 : H3 =3 H4-S3= {е, a2b} {a, b} {a2, ab}, 4 : H =3 Классы сопряженных элементов. aG={a, a2}; bG={b, ab, a2b}, еG={е} Коммутатор. = а-1 b-1 ab = а1 ab Коммутатор а-{е, a}; a2-{е, a2}; b-{е, a, a2}; ab-{е, a, a2}; a2b-{е, a, a2}.Таким образом, получаем, что ={е, a, a2} – коммутант группы S3. Таблица 3 - Таблица коммутаторирования элементов группы S3.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (456)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |