Задачи для самостоятельного решения. 1.Упростить выражение
1.Упростить выражение 2. Найти углы треугольника с вершинами , , . 3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах `a=(2;1;0) и `b=(0;-2;1). 4. При каком значении m векторы и перпендикулярны? 5. Найти , если , , . 6. Даны точки , , . Найти 7. Найти длину вектора , если , , . 8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию . 9. Даны векторы , , . Найти вектор , если известно, что , и . 10. Найти проекцию вектора на вектор , если , , . Ответы: 1. 2. 2. .3.90°. 4. 3. 5. 336. 6.6. 7. . 8. . 9. (3;-1;2) . 10. . 2.7. Векторное произведение векторов и его свойства Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который: 1) перпендикулярен векторам и , то есть , ; 2) имеет длину , где ; 3) векторы , и образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается , то есть Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах: . (49)
Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами , и : , , .
Свойства векторного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) . Из определения и свойств второго произведения следует: , , , . Можно использовать таблицу векторного произведения векторов , и
Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка . (50) Пример 15. Упростить выражение . Решение. Используя свойства векторного произведения, получим Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. Решение. Найдем векторное произведение векторов и с помощью формулы (50): Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах , если , Решение. Найдем векторное произведение данных векторов: Площадь параллелограмма по формуле (49) равна , тогда получим . Пример 18. Даны два вектора и . Вектор , . Найти . Решение. Так как вектор и , тогда . Координаты вектора , вектора . Найдем вектор , пользуясь формулой (50) Таким образом вектор . Найдем модуль вектора Пример 19. Найти , если известно, что , . Решение. Координаты вектора , вектора . По формуле (48) найдем скалярное произведение векторов и Найдем векторное произведение , используя формулу (50) . Тогда искомое выражение .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (645)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |