Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана уравнением и точка , не принадлежащая прямой l. Обозначим через d расстояние от точки до прямой l. Тогда . (70)
Пример 24. Дано каноническое уравнение прямой . Написать: а) общее уравнение прямой;б) уравнение прямой в отрезках; в) уравнение прямой с угловым коэффициентом. Решение. а) приведем данное уравнение к общему знаменателю и преобразуем его к виду (56): , - общее уравнение прямой; б) полученное общее уравнение преобразуем к виду (57): , или - уравнение прямой в отрезках; в) разрешим полученное общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение (62): , . Здесь , Пример 25. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Решение. Используя уравнение (58), получим: . Здесь вектор является направляющим вектором. Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси ординат отрезок . Определить угол наклона этой прямой к оси Ох. Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (57): . По условию . Так как искомая прямая проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (57). Подставляя числовые данные в это уравнение, получим: , , значит искомое уравнение прямой имеет вид . Для нахождения угла между полученной прямой и осью Ох, преобразуем это уравнение к виду (62): или . Угловой коэффициент , но , то есть . Поэтому . Пример 27. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых , и образуют угол с осью Ох. Решение.Найдем координаты точки пересечения данных прямых:
Значит точка пересечения данных прямых . Для составления уравнения искомой прямой воспользуемся уравнением (61). Здесь - координаты точки А, , поэтому уравнение прямой примет вид: или . Пример 28. Даны сторона параллелограмма , две вершины и , а также . Составить уравнения остальных сторон. Решение. Проверим, проходит ли данная прямая через указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в уравнение прямой. : , , значит прямая не проходит через точку А. : , , поэтому данная прямая проходит через вершину С. Пусть это сторона DC.
Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, найдем уравнение стороны, проходящей через точку А параллельно данной прямой. Найдем угловой коэффициент этой прямой: , , , здесь . В силу условия (65) , тогда уравнение стороны АВ примет вид или Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С под углом к стороне DC. Угловой коэффициент прямой DC . Найдем , используя условие (63): , , , , Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением (61): , или . Пример 29. Дан треугольник с вершинами , и . Составить уравнение и найти длину высоты СН. Решение. Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение (60): , или Угловой коэффициент прямой АВ . Высота тогда по условию (66) или . Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (61): , , или . Длину высоты СН найдем по формуле (70), как расстояние от точки до прямой АВ : Таким образом, уравнение высоты СН , а длина высоты СН равна 6. Пример 30. При каком значении а прямые и а) параллельны; б) перпендикулярны? Решение. а) нормальный вектор прямой , прямой - . Из условия параллельности двух прямых (68) , , , Таким образом, при и данные прямые параллельны. б) согласно условию перпендикулярности двух прямых (69), получаем: , , , . Значит, при данные прямые перпендикулярны.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (649)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |