Дробно-рациональные уравнения
Стандартный вид дробно-рационального уравнения: (3.8) где – многочлены. Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений (3.8) сводится к решению системы Дробно-рациональные уравнения вида где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции: К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной. Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.
Пример 1. Решить уравнение Решение. Сводим заданное уравнение к стандартному виду (3.8): т. е. Его решением будет решение системы т. е. Значит, решением заданного уравнения является
Пример 2. Решить уравнение Решение. Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения: Получаем: Откуда Оба корня являются решениями, так как подходят по ОДЗ. В ответе имеем:
Пример 3.Решить уравнение Решение. Группируем слагаемые Заменяем откуда т. е. и Получаем уравнение или, то же самое, Полученное уравнение имеет корни: Возвращаемся к переменной х: В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений которые решаем на ОДЗ: Приходим к ответу
Пример 4.Решить уравнение Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:
Получаем уравнение, которое приобретает вид Заменяем и приходим к уравнению Решая его, найдем корни: Возвращаемся к старой переменной: Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ): Приходим к ответу
Пример 5.Решить уравнение Решение. Введем замену: Тогда и получим уравнение Решаем его: т. е. Решая квадратное уравнение, находим корни: Вернемся к переменной х: Решаем первое уравнение: Второе уравнение не имеет решения, так как Получили ответ:
Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
3.2. Найдите квадрат суммы корней при
3.3. Определите при каких значениях а уравнение имеет действительные корни:
Уравнения с модулем
Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число: (3.9) Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки а до точки х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки х. Свойства модуля: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения: Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения. I тип: уравнение вида (3.10) где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х. 1. Если уравнение (3.10) решений не имеет. 2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению 3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений: II тип: уравнение вида где – некоторые выражения с неизвестной х. Решать это уравнение можно несколькими способами. 1-й способ – используя определения модуля:
2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче. 3-й способ – метод интервалов. Необходимо: 1) найти те значения х, для которых 2) нанести полученные значения х на числовую ось; 3) определить знаки для каждого из полученных интервалов; 4) нарисовать кривую знаков; 5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку; 6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку; 7) в ответе указать совокупность всех полученных корней. III тип:уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида (3.11) где – некоторые выражения с неизвестной х. 1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным. 2-й способ –метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней. IV тип: уравнение вида (3.12) где – некоторые выражения с неизвестной х; 1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений: 2-й способ – метод интервалов (не рационально). 3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному: Полученное уравнение решается в зависимости от его типа. V тип: уравнения, решаемые заменой переменной, например: где – некоторые выражения с неизвестной х; По свойству модуля оно записывается в виде Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа: если корень единственный, то остается решить уравнение Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений. Пример 1.Решить уравнение Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ: Уравнение записывается в виде На ОДЗ можно сократить и получаем откуда т. е. Получаем корни которые подходят по ОДЗ.
Пример 2.Решить уравнение Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем: (3.13) Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду откуда Это квадратное уравнение решений не имеет, так как Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем т. е. Квадратное уравнение имеет корни: т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только
Пример 3. Решить уравнение Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля: (3.14) Решаем первую систему совокупности (3.14): Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является Решаем вторую систему совокупности (3.14): Получили ответ
Пример 4.Решить уравнение Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде Это уравнение относится к III типу уравнений. Его ОДЗ: Решим методом интервалов. Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы:
III.
Решением данного уравнения являются значения и
Пример 5. Решить уравнение Решение. Запишем уравнение в виде
Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат: После упрощения имеем: т. е. Получаем – корень.
Пример 6.Решить уравнение Решение. ОДЗ: т. е. Преобразуем данное уравнение к виду
Заменяем Уравнение приобретает вид Решаем его как дробно-рациональное и получаем: Последнее квадратное уравнение имеет корни: Возвращаясь к переменной х, получаем: Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное. Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии Приходим к совокупности т. е. Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни: Оба они подходят по ОДЗ. Пришли к ответу:
Пример 7.Решить уравнение Решение. ОДЗ: С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению: Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:
т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ. Получили ответ: Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
3.2. Найти количество натуральных корней уравнения
3.3. Решите уравнение: если
3.4. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень.
3.5.Для каждого значения а найдите множество решений:
3.6. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три решения: 1) 2)
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (770)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |