П.3. Проекции вектора. Расположение вектора в пространстве. Операции над векторами
Определение 12.Проекцией вектора на ось l называется длина вектора этой оси, заключенного между проекциями a и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.
,
Замечание. Проекцией точки А на ось l называется точка А0 такая, что прямая АА0 пересекает ось l под углом 900 в точке А0. Теоремы о проекциях: Теорема 2. , где α – угол между вектором и положительным направлением оси l. Теорема 3. . Проекция ломаной равна проекции замыкающего контура. Теорема 4. . (без доказательства)
Определение 13. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора. , координаты вектора . Если A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
Длина вектора находится по формуле: .
Следствие из теоремы 1. Вектор коллинеарен вектору тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: . Замечание 1. , где λ – коэффициент пропорциональности. Замечание 2. . Ортами координатных осей (Ох), (Оy), (Оz) называются векторы соответственно. . Рассмотрим радиус-вектор , построенный на векторах (по правилу параллелепипеда), причем , , : (*). Так как , то подставив в (*), получим
разложение вектора по ортам .
Пусть α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, тогда в силу теоремы 2 получим, что Определение 14.Направляющими косинусами вектора называются , где α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, причем , , . Замечание. Из определения видно, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е. . Теорема(о направляющих косинусах). Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1: . (доказать самостоятельно) Определение 15.Даны два вектора и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам: , . Определение 16. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор такой, что . Замечание. Для вектора n-мерного пространства справедливы все определения и теоремы.
Пример.Даны точкиМ1(2; 1), М2(–1;3) и вектор . Найти длину и направление вектора , координаты его орта, проверить коллинеарность векторов и , найти координаты вектора – 2 . Решение. Найдем координаты вектора . . Найдем направляющие косинусы: , . Отсюда, , следовательно, , . Координаты орта по замечанию к определению 14: . По следствию к теореме 1 проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие . Проверим: , следовательно, векторы и не коллинеарны. Найдем координаты вектора – 2 . Сначала найдем координаты вектора по определению 16: , тогда по определению 15: – 2 .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (961)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |