ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Многие характеристики окружающих нас явлений описываются числами, например температура тела, вес и стоимость товара, плотность, масса, валентность, объем, количество участников конференции. Такие величины называются скалярными, или просто скалярами. Однако имеются величины, которые для своего описания требуют еще и указание направления, например скорость, сила, ускорение. Такие величины называются векторными, или просто векторами. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей: . Точка О – начало координат, – ось абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат. Пусть М – произвольная точка пространства. Прямоугольными координатами точки М называются числа , то есть величины направленных отрезков ; при этом называется абсциссой, - ординатой, - аппликатой точки М. Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x,y,z) – ее прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройке чисел (x,y,z) соответствует, и при том только одна, точка М пространства. Плоскости называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.
Рис. 1 .
2. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, то есть упорядоченная пара точек А и В пространства определяет вектор . При этом первая буква означает начало вектора, а вторая – его конец. Вектор обозначают и одной прописной буквой . Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора . Пусть заданы координаты точек–концов вектора , , тогда координаты вектора получим, вычитая из координат конца координаты начала : . Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается , . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается , в частности, единичные вектора, совпадающие по направлениям с координатными осями, обозначают . Проекцией вектора на ось называется положительное число = , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось противоположно направлены.
Рис. 2.
Основные свойства проекций. 1) , где - угол между вектором и осью ; 2)
Из рис. 1 видно, что
; ; и -
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Углы вектора с осями соответственно равны . Направляющие косинусы вектора
Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице: . Пример 1. Вычислить длину и направляющие косинусы вектора , если даны координаты точек и . Решение. Найдем координаты вектора . Длина вектора по (1) .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1608)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |