Погрешность Косвенных измерений

Полная величина погрешности измерений (абсолютная погрешность) складывается из случайной погрешности d и неисключенного остатка систематической погрешности q, D=q + d. Если учесть, что усредненное по большому количеству реализаций значение случайной погрешности равно нулю, а НСП суть постоянная величина, то среднеквадратическое значение полной погрешности измерений будет равно:

Результат косвенных измерений получается в итоге выполнения некой вычислительной процедуры над данными прямых измерений и включает в неявном виде систематическую и случайную составляющие. Отсюда естественно вытекает, что окончательная погрешность косвенных измерений должна быть связана с погрешностью прямых измерений некой функциональной зависимостью.

Пусть определяемая в процессе косвенных измерений неизвестная величина Z есть функция нескольких (i) величин X_i, значения которых можно получить из опытных данных.

(19)

Пусть также систематическая и случайная составляющие погрешностей определения величин X_i являются малыми и равны соответственно q_i и s_i. Тогда полная погрешность косвенного измерения равна DX_i=q_i+s_I и ее тоже можно считать малой, DХ_i/Х_i <<1. Возможны два подхода к оценке величины результирующей погрешности измерений величины Z.

При первом подходе, который наиболее часто используется в обычной практике, оценивается результирующая (суммарная) погрешность косвенного измерения без раздельного выделения систематической и случайной погрешностей косвенного измерения.

Если продифференцировать уравнение (19) и перейди от дифференциалов к конечным приращениям, то для приращения DZ получим:

(20)

По физической сущности полученное приращение DZ есть абсолютная погрешность косвенных измерений величины Z, выраженная через абсолютные погрешности измерения DX_i величин X_i.

Соответственно относительная погрешность косвенных измерений будет равна:

где: (21)

Рассмотрим два типичных случая.

а). Пусть Z=Xⁿ×Y^m. Тогда относительная погрешность d косвенного измерения величины Z, выраженная через случайные погрешности измерения величин X и Y, согласно формуле (21) будет равна:

. (22)

Отсюда видно, что при значениях показателей степени n,m>1 вклад погрешности прямого измерения в результирующую относительную погреш­ность косвенного измерения будет усиливаться пропорционально показателю степени.

б). Пусть Z=X+Y-W. Величина относительной погрешности косвенного измерения, полученная из уравнения (21), будет равна:

(23)

Следовательно, при определенном соотношении измеренных значений величин X, Y, W, таком,что X+Y»W, результирующая погрешность кос­венного измерения величины Z, как следует из (23), может оказаться весьма велика. Причем даже случае, когда погрешности измерения величин X, Y и W достаточно малы, d_X, d_Y, d_W ® 0.

Второй более полный и строгий подход к определению величины случайной погрешности косвенных измерений является метод, основанный на представлении искомой физической величины в виде ряда Тэйлора.

Пусть величина Z является функцией двух величин X и Y, значения которых получены в прямых измерениях, тогда:

; (24)

Будем считать величину погрешностей малой по сравнению с дейст­вительными значениями величин и представим результирующую погреш­ность ∆ в виде суммы неисключенного остатка систематической погрешно­сти (НСП) θ и случайной составляющей δ:

(25)

Разложим функцию F(X,Y) в ряд Тэйлора и отбросим члены разложения выше 2-го порядка. Тогда для погрешности косвенного измерения (т.е. малого приращения величины Z) получим следующее выражение:

(26)

Из уравнения (26) следует, что если ограничиться в разложении Тэйлора только членами первого порядка, то получим обычное выражение для погрешности, по форме соответствующее (21):

Если теперь усреднить левую и правую части разложения (26) и учесть, что при усреднении по большому числу измерений средняя величина случайной погрешности стремится к нулю, то для систематической погрешности косвенного измерения с учетом членов 2-го порядка получим:

…(27)

Отсюда вытекает, что при косвенных измерениях систематическая погрешность определяется не только величиной НСП прямых измерений величин q_X и q_Y, но и случайными погрешностями их измерения d_Х и d_Y.

Во-первых, второе и третье слагаемые в правой части выражения (27) указывают, что необходимость введения поправок на систематическую погрешность к результатам косвенного измерения может возникать даже тогда, когда при очень малых НСП прямых измерений равна θ_X, θ_Y®0, величины случайных погрешностей d_X и (или) d_Y окажутся достаточно велики.

Во-вторых, последнее слагаемое в правой части () включает корреляционный момент R_XY,который служит мерой линейной статистической связи случайных величин X и Y:

Следовательно, на величину систематической погрешности косвенных измерений может оказывать сильное влияние наличие корреляционных связей между случайными погрешностями величин X и Y. Эта статистическая связь может носить самый разнообразный характер, который определяется свойствами объекта и методикой проведения измерений. Отличие корреляционного момента от нуля, R_XY ≠ 0, означает, что случайные величины X и Y обнаруживают тенденцию к синхронному изменению под воздействием каких-либо внешних факторов, например, температуры внешней среды. Их изменение может быть однонаправленным, R_XY >0 – положительная корреляция, которая приведет к увеличению погрешности косвенного измерения, или разнонаправленным, R_XY <0 - отрицательная корреляция, следствием которой будет уменьшение результирующей погрешности. При R_XY =0 корреляция отсутствует и величины X и Y будут независимы (некоррелированы).

Ø В косвенных измерениях случайная погрешность измерений может трансформироваться в систематическую

Из этих примеров ясно видно, что при выборе метода косвенного измерения физической величины надо очень внимательно подходить к анализу физических законов и соответствующих вычислительных процедур, которыми определяется связь этой величины с измеряемыми параметрами.