И доверительного интервала
Обозначим истинное значение измеряемой величины через , её среднее арифметическое значение для серии измерений через , а погрешность измерения этой величины – ; пусть означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем . Это принято записывать в виде: . (5) Вероятность носит название доверительной вероятности, или коэффициента надёжности. Интервал значений от - до + называется доверительным интервалом. Выражение (5) означает, что с вероятностью, равной , истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы интервала от - до+ . Разумеется, чем большей надёжности мы требуем, тем больше задаётся соответствующий доверительный интервал и тем вероятнее, что результаты измерений не выдут за его пределы. Следовательно, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать две величины, а именно: величину самой ошибки (доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надёжности полученного результата. При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0.9 или 0.95. Для любой величины доверительного интервала в теории ошибок вычисляется соответствующая доверительная вероятность. Результаты этих вычислений для большого числа измерений приведены в таблице № 1. Таблица № 1
Примеры пользования таблицей № 1 Пусть для некоторого ряда измерений мы получим = 1.27 , s = 0.032 . Какова вероятность того, что результат определённого измерения не выйдет за пределы, определяемые неравенством 1.26<xi<1.28 ? Доверительные границы нами установлены в ±0.01, что составляет в долях s 0.01:0.032=0.31. Из таблицы 1 находим, что доверительная вероятность для e = 0.3 равна 0.24. Иначе говоря, приблизительно 1/4 измерений уложится в интервал с ошибкой ± 0.01. Определим теперь, какова доверительная вероятность a для границ 1.20<xi<1.34 . Значение этого интервала, выраженное в долях s, будет e = 0.07:0.32 = 2.2 . По таблице 1 находим значение a для e = 2.2 , оно будет равно 0.97. Иначе говоря, результаты примерно 97% всех измерений будут укладываться в этот интервал. Для малого числа измерений при нахождении доверительной вероятности таблицей 1 пользоваться не следует, так как значения a будут неверные. Это результат того, что при определении среднеквадратичной ошибки (формула (4)) из малого числа наблюдений мы находим последнюю с малой точностью. Для того, чтобы учесть это обстоятельство, интервал можно представить в виде: , (6) где – некоторый численный коэффициент, зависящий от надёжности результатов серии измерений. Величина , носящая название коэффициента Стьюдента, вычислена для различных значений n и a и приведена в таблице №2.
Таблица № 2
Таким образом, задавая вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадёт в некоторый доверительный интервал, т.е. задавая надёжность a, по числу проведённых измерений можно найти значение коэффициента Стьюдента для этих данных. Тогда, вычислив предварительно s по формуле (4), можно найти величину этого интервала, т. е. погрешность результата измерения . Например, при необходимости получить результат с надёжностью a=0.95 при произведённых 5-ти измерениях искомой величины (n=5) для коэффициента Стьюдента по таблице 2 находим значение t0.95,5 = 2.8 . Тогда, если значение среднеквадратичной ошибки получилось, к примеру, равным s = 1.02 , по формуле (6) погрешность результата измерений получается равной = 2.8 · 1.02 = 2.86 . После этого результат измерений с указанием наименований единиц можно записать в виде: (наименование единицы) , или (наименование единицы), что означает, что истинное значение величины находится в области доверительного интервала ( – , + ) с надёжностью, равной a. Однако величина абсолютной погрешности результата измерений сама по себе ещё не определяет точности измерений. Пусть, например, мы с одинаковой абсолютной погрешностью измерили две различные длины: l1=25±0.5 (мм) и l2=1±0.5 (мм). Ясно, что во втором случае точность наших измерений гораздо ниже. Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности Е, равной отношению абсолютной погрешности результата измерений к результату измерений: . (7) Ошибки косвенных измерений
В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая,зависящая от неё тем или иным образом. В случае, когда есть функция нескольких переменных a, b, c, ¼ , то есть , абсолютная ошибка равна: , (8) где ; ; — частные производные функции по переменным a, b, c соответственно; Da, Db, Dc – абсолютные погрешности, определяемые соотношением (6). Напомним, что частные производные функции f многих переменных по одной переменной, скажем “a” , является обычной производной функции f по a , причём другие переменные считаются постоянными параметрами. Все производные вычисляются при значениях , и так далее. Относительная погрешность равна: . (9)
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1421)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |