Виды измерений физических величин и их погрешности

Глава 1. Погрешности измерений

Точные и приближенные числа

 

Каждое измерение некоторой величины в общем случае не является абсолютно точным, а дает лишь ее приближенное значение. Так же приближенные значения чисел получают и при обработке данных физического эксперимента. Не каждое действительное число можно представить в виде конечной цифровой последовательности. Поэтому приходится применять приближенные значения представляемого числа, содержащие ограниченное число цифр (например, для числа приближенными значениями будут 0,3; 0,33 и т.д.). Приближенные значения чисел появляются также в результате обрыва (отбрасывания цифр в его точном значении, начиная с некоторого разряда) и округления, когда точное число содержит конечное, но слишком большое число цифр. Очевидно, что при обрыве числа погрешность приближения, т.е. разность между точным значением х_ти его приближением х, всегда положительна и не превосходит единицы разряда последней сохраненной цифры. При округлении числа по основным правилам с избытком или недостатком, погрешность округления не превышает половины единицы последнего сохраняемого в числе разряда.

Значащими цифрами приближенного значения числа называют все верные цифры кроме нулей, стоящих слева от первой отличной от нуля цифры. Так, например, числа 28,7; 6,054; 0,056491 имеют соответственно три, четыре и пять значащих цифр. Значащей цифра называется потому, что она представляет или, другими словами, означает соответствующий десятичный разряд. Так для числа 28,7 сотые и более мелкие доли неизвестны, т.е. неозначены.

В стандартной форме записи приближенного числа первую значащую цифру ставят в разряд единиц, а остальные – в десятичные разряды после запятой. При записи приближенных чисел, больших 10 или меньших 1, нужно выделять множитель вида 10^K, где K – соответствующее целое положительное или отрицательное число. Например, число 26975,1, округленное до трех значащих цифр, записывается в виде 2,70·10⁴, а число 0,002431 – в виде 2,43·10^-3.

При обработке результатов физического эксперимента, наряду с приближенными, могут встречаться и точные числа. Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения, числа заданные определениями и т.п.

Приближенные числа, получаемые в результате измерений и вычислений, определенные из таблиц и другими способами, могут содержать разное число цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные цифры.

Цифры в десятичной записи приближенного числа называются верными, если ошибка представления числа в приближенном виде не превосходит по абсолютной величине половины единицы разряда последней сохраненной цифры. Таким образом, все цифры, полученного при округлении числа будут верными, хотя некоторые из них могут отличаться от соответствующих цифр самого числа. Цифра, стоящая в разряде за последней верной, содержит погрешность и называется сомнительной, а все цифры приближенного числа стоящие после сомнительной, являются неверными. Неверные цифры не содержат никакой информации и должны быть отброшены.

 

Виды измерений физических величин и их погрешности

 

В зависимости от способа определения значения физической величины, измерения делятся на прямые (непосредственные) и косвенные. Прямыми называются такие измерения, в которых значение измеряемой величины получают сразу из отсчета по прибору или при помощи какого-либо способа сравнения с эталоном.

Косвенные – это такие измерения, при которых значение некоторой физической величины находится как функция нескольких других величин, полученных прямыми измерениями. Одну и ту же величину можно иногда найти как путем прямых, так и косвенных измерений. Например, сопротивление резистора R можно определить по падению напряжения U и силе протекающего через него электрического тока I, используя закон Ома для участка цепи (R = U/I), или измерив непосредственно омметром.

Измеренное значение физической величины обычно отличается от ее истинного значения. Это отличие характеризуется разностью

,

которая называется ошибкой измерения. Причин, приводящих к появлению ошибок измерений, много. Некоторые из них:

- несовершенство измерительных приборов;

- влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий и самого измеряемого объекта;

- несовершенство органов чувств и действий экспериментатора;

- неполное соответствие измеряемого объекта той теоретической модели, которая принята для измеряемой величины (например, при определении плотности шара считают ее однородной по всему объему, в то время как внутри шара могут быть пузырьки воздуха);

- приближенный характер законов или методов измерения, используемых для нахождения измеряемой величины;

- округления при вычислениях и т.д.

В зависимости от причин, приводящих к появлению погрешностей, они делятся на случайные, систематические и промахи.

Промахами называют грубые ошибки в значении измеряемой величины. Они могут быть вызваны невнимательностью экспериментатора (например, перед измерением стрелка прибора не стояла на нуле, при измерении диаметра отверстия некоторыми штангенциркулями необходимо учитывать толщину его ножек, равную 10 мм), поломкой прибора, резкими изменениями условий эксперимента. Наблюдения, содержащие промахи, отбрасываются.

Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, величина и знак которой сохраняется или изменяется закономерно при повторных изменениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности обусловлены постоянно действующими во время эксперимента причинами, влияющими на результат измерения. При закономерных изменениях условий систематическая погрешность также изменяется закономерно. Причинами систематических погрешностей могут являться несоответствие измерительного прибора эталону (например, неправильный ход секундомера, неточная градуировка шкалы прибора), неправильное использование измерительного прибора, пренебрежение необходимыми поправками, вводимыми для повышения точности (например, при определении азимута с помощью магнитной стрелки компаса вводится поправка на угол магнитного склонения), методом измерений (например, пренебрежением сопротивления соединительных проводов, амперметра и т.д.).

Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины или отнять, чтобы исключить систематическую погрешность. В некоторых случаях используют поправочный множитель – число, на которое умножают результат измерения для исключения систематической погрешности. Поправка или поправочный множитель определяются при помощи поверки измерительных средств, составления и использования соответствующих таблиц и графиков.

Систематические погрешности являются в общем случае функциями измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и т.д.) и времени. Уменьшить вклад систематических погрешностей в результат измерений можно путем совершенствования измерительных приборов и методик измерений и обработки результатов, а также при измерении тех же физических величин принципиально другими методами. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.

Существуют специальные методы измерений, исключающие систематические погрешности, это метод замещения и метод компенсации погрешности по знаку. Метод замещения заключается в том, что измеряемая величина замещается известной величиной, получаемой при помощи регулируемой меры (магазин сопротивлений, емкостей, индуктивностей и т.п.). Если при таком замещении не происходит никаких изменений в экспериментальной установке и после замещения установлены те же показания приборов, то измеряемая величина равняется известной величине, определяемой по указателю регулируемой меры. Погрешность измерения в этом случае определяется погрешностью меры и погрешностью, возникающей при нахождении значения величины, замещающей неизвестную.

Метод компенсации погрешности по знаку применяется для исключения систематических погрешностей, которые в зависимости от условий измерения могут входить в результат измерения с тем или иным знаком, например, погрешность от влияния постоянных электрических и магнитных полей. В этом случае измерения проводят дважды таким образом, чтобы погрешность входила в результаты измерений один раз со знаком плюс, а другой раз – со знаком минус. Среднее значение из двух полученных результатов является окончательным результатом измерения, не содержащим систематической погрешности.

Применение в современных измерительных средствах микропроцессорных систем позволяет производить исключение или коррекцию многих видов систематических погрешностей.

Случайными погрешностями называют погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности вызываются большим количеством одновременно действующих на результат измерения причин, характер и величина которых изменяются во времени: пульсацией постоянного питающего напряжения, внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, вибрациями, трением в механизмах, неровностями на поверхности измеряемого предмета и т.д. Эти причины могут сочетаться в различных комбинациях, в результате, даже при строгом соблюдении одних и тех же условий эксперимента, повторные измерения одной и той же величины дают отличающиеся друг от друга результаты. Отклонения измеренной величины от истинного значения могут при этом быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, а величина отклонения не является постоянной. Это не означает, однако, что величина случайной погрешности не подчиняется никаким закономерностям. Законы ее изменения носят статистический характер. Единственно возможный способ объективного учета случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений, расчет статистических оценок погрешностей и учет их в окончательном результате измерений физической величины.

Допустим, что при прямом измерении постоянной физической величины получены n ее значений: х₁, х₂ …, х_i,….., х_n. Все измерения выполнены одним прибором с одинаковой степенью тщательности, но измеренные значения величины отличаются друг от друга, хотя среди них могут быть и одинаковые значения. Для определения окончательного результата многократного измерения и оценки его погрешности прежде всего следует выявить промахи и отбросить соответствующие им результаты. Как правило, это значения измеряемой величины, которые резко отличаются от других. Следующим этапом обработки результатов измерений является выявление и учет систематических погрешностей в виде поправок к полученным результатам. Полученные таким образом результаты измерений не свободны от случайных погрешностей.

Влияние случайных погрешностей можно уменьшить, если использовать среднее арифметическое значений, найденных в многократно повторенных измерениях:

.

За меру погрешности конкретного значения х_i, полученного при отдельном измерении принимают разность между этим значением и истинным значением х_ист. Поскольку последнее неизвестно, то вместо него используют среднее значение n измерений. Разность х_i - <х> = Δх_i является абсолютной погрешностью i-го измерения. Абсолютные погрешности Δх_i могут быть как положительные, так и отрицательные. Алгебраическая сумма абсолютных погрешностей равна нулю. Поэтому, для описания степени разброса значений измеримой величины нельзя использовать среднее арифметическое абсолютных погрешностей.

Для оценки погрешности результата отдельного измерения вводят среднюю квадратичную погрешность или стандартное отклонение отдельного измерения:

,

где n – число измерений.

Стандартное отклонение имеет следующий смысл. При большом числе измерений вероятность того, что модуль значения Δх_i не превышает значения σ равна 0,67 ≈ 2/3, или, что с вероятностью 0,67 отклонение Δх_i лежит в интервале [-σ, +σ].

Величина среднего арифметического более точно характеризует значение измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Согласно теории вероятностей средняя квадратичная погрешность σ_п, или стандартное отклонение среднего арифметического определяется по формуле

. (1)

Как следует из (1), с увеличением числа измерений n средняя квадратичная погрешность случайных измерений уменьшается обратно пропорционально . В то же время систематическая погрешность не уменьшается при увеличении n. Поэтому если остаточная систематическая погрешность является преобладающей, то увеличение числа измерений полную погрешность существенно не изменяет. Число измерений нужно выбирать таким, чтобы вклад случайной погрешности в общую погрешность измерения был сравним с вкладом остаточных систематических погрешностей. В учебных лабораториях, как правило, нецелесообразно проводить большое число измерений и обычно n ≤ 10.

За оценку погрешности окончательного результата многократного измерения принимают величину Δх, задающую симметричный относительно <х> интервал значений от <х> – Δх до <х> + Δх, называемый доверительным интервалом. Однако, истинное значение физической величины может не удовлетворять этому интервалу. Вероятность найти его в указанном интервале носит название доверительной вероятности Р или коэффициента надежности. Причем более высокой доверительной вероятности соответствует больший доверительный интервал. Например, доверительной вероятности 0,67 соответствует доверительный интервал от <х> – σ_n до <х> + σ_n. При обычных измерениях в учебных лабораториях ограничиваются вероятностью 0,95, которой соответствует доверительный интервал (<x> - 2σ_n; <x> + 2σ_n). Для некоторых измерений, к которым предъявляются высокие требования по надежности, например, в метрологических и научных лабораториях, следует использовать Р = 0,997 с доверительным интервалом (<х>–3σ; <х>+3σ). Очевидно, что меньшему количеству отдельных измерений будет соответствовать больший доверительный интервал. Доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р и числе измерений n можно найти, умножив стандартное отклонение среднего арифметического на коэффициент Стьюдента t_Pn. Коэффициенты Стьюдента вычислены в статистике для различных значений Р и n и приведены в табл. 1.

 

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

n P	0,9	0,95	0,99
	6,31	12,7	63,7
	2,92	4,30	9,92
	2,35	3,18	5,94
	2,13	2,78	4,60
	2,02	2,57	4,03
	1,94	2,45	3,71
	1,89	2,36	3,50
	1,86	2,31	3,36
	1,83	2,26	3,25
	1,76	2,14	2,98

 

С учетом коэффициента Стьюдента случайная погрешность результата измерений, определяющая полуширину доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины, высчитывается по формуле:

. (2)

Абсолютная погрешность не полностью описывает точность измерений. Качество измерений лучше описывается относительной погрешностью, которая определяется как отношение абсолютной погрешности ∆х к среднему арифметическому <x>.

. (3)

Эта погрешность дает представление о части, которую составляет абсолютная погрешность от самой величины. Часто относительную погрешность выражают в процентах. Тогда

. (4)

 

Приборные погрешности

 

Приборные погрешности имеют систематическую и случайную составляющие погрешности. Систематическая погрешность каждого конкретного прибора неизвестна и ее невозможно исключить полностью введением в результат измерений соответствующей поправки. Однако ее можно уменьшить, проводя измерения при рекомендованных условиях работы прибора (например, весы выставлены по отвесу и уравновешены в отсутствие нагрузки, стрелка отключенного электроизмерительного прибора установлена на нуль и т.д.). Случайные составляющие приборной погрешности могут возникнуть при изготовлении и градуировке приборов. Погрешности разных приборов одного типа будут разными и по величине и по знаку, но не большими предельной, сообщаемой заводом-изготовителем в паспортах, прилагаемых к приборам. Поскольку остаются неизвестными ни конкретная величина, ни знак погрешности, получающейся в результате отдельного измерения данным прибором, то такую погрешность следует рассматривать и учитывать при расчетах как случайную.

Допустимые погрешности некоторых приборов указываются в их паспортах как предельная абсолютная погрешность δ (табл. 2).

Для электроизмерительных стрелочных приборов указывают класс точности k, который обозначается на шкалах приборов цифрами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 (цифры могут быть помещены в кружок или ромбик). Класс точности измерительного прибора определяет максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора:

k = (δ/x_max)·100%.

По известному классу точности прибора находится предельная абсолютная погрешность прибора

δ = (k/100%)·x_max.

Например, вольтметр класса точности 0,5, рассчитанный на максимальное напряжение 200 В, измеряет напряжение с допустимой погрешностью, не превышающей

δ = (0,5/100)·200 В = 1 В.

 

Таблица 2

Предельная абсолютная погрешность некоторых приборов,

используемых в лабораториях физического практикума

Приборы	Диапазон измерения	Предельная погрешность δ
Линейки металлические	150, 300, 500 мм	0,1 мм
Линейки пластмассовые	200, 250, 300 мм	1 мм
Штангенциркули с ценой деления нониуса 0,1 мм с ценой деления нониуса 0,05 мм с ценой деления нониуса 0,05 мм	0 – 125 мм 0 – 150 мм 0 – 250 мм	0,1 мм 0,05 мм 0,1 мм
Микрометры с ценой деления 0,1 мм	0 – 75 мм	0,004 мм
Индикаторы часового типа с ценой деления 0,01 мм	0 – 2 мм 0 – 5 мм 0 – 10 мм	0,012 мм 0,016 мм 0,022 мм
Весы электронные портативные с ценой деления 0,1 г.	0,1 – 400, 0,1 – 600 г	0,1 г
Секундомеры механические с ценой деления 0,2 и 0,1 с	При измерении промежутка времени до 120 с	0,1 с
Лабораторные ртутные термометры (без указания класса точности)		1 ºС
Часы-секундомер электронные, дискретность отсчета 0,01 с	0 – 60 мин, (25 ± 5) ºС	0,04 с

 

Относительная погрешность результата, измеренного с помощью этого вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо большой для малых измеряемых напряжений. При измерении напряжения 10 В этим вольтметром погрешность составит 10%.

Относительная погрешность измерения, обусловленная прибором:

ε_{х пр} = (δ/х_изм)·100% = (х_max/ х_изм)·k. (5)

Предельная погрешность и класс точности задаются с доверительной вероятностью Р = 0,997, а в учебных лабораториях ограничиваются значением Р = 0,95, поэтому при вычислениях приборных погрешностей в лабораторном практикуме следует брать не всю величину δ, а только 2/3 от нее.

Как видим, относительная погрешность, в отличие от абсолютной, зависит от значения измеряемой величины, и чем ближе х_изм к максимальному значению х_max, тем меньше относительная погрешность. Поэтому для получения хорошей точности диапазон измерений прибора должен выбираться таким, чтобы номинальное значение измеряемой величины было больше двух третей диапазона измерений прибора.

Если значение измеряемой величины меняется в широких пределах, то допускается, чтобы наименьшее значение измеряемой величины было менее двух третей диапазона измерений.

Обычно градуировка измерительных приборов производится так, что цена деления согласована с погрешностью прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, то за оценочное значение погрешности принимают половину цены его наименьшего деления.

В многофункциональных приборах, имеющих разные пределы измерения и имеющих возможность измерять различные физические величины (переменное и постоянное напряжения, силу тока, сопротивление, электрическую емкость и т.д.), класс точности может зависеть от рода тока и от измеряемой физической величины. В этом случае на шкале такого прибора указывается несколько классов точности с условными обозначениями измеряемой величины у каждого из них.

Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывается по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности. При отсутствии паспорта за оценку погрешности принимают погрешность, составляющую 1-2 единицы последнего инициируемого разряда.