Погрешности косвенных измерений

Рассмотрим сначала случай, когда величина у зависит только от одной переменной х, которая находится прямым измерением,

. (8)

Среднее арифметическое <y> можно найти, подставив в (8) вместо х среднее арифметическое <х>.

.

Абсолютную погрешность можно рассматривать как приращение функции (8) при приращении аргумента ∆х (полная погрешность измеряемой величины х). При малых значениях ∆х она приближенно равна дифференциалу функции

, (9)

где - производная функции, вычисленная при . Относительная погрешность будет равна

.

Пусть определяемая величина у является функцией нескольких переменных х_i,

. (10)

Предполагается, что погрешности всех величин в рабочей формуле носят случайный характер, независимы и рассчитаны с одной и той же доверительной вероятностью (например Р = 0,95). Такую же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины. В этом случае наиболее вероятное значение величины <у> определяют по формуле (10), используя для расчета наиболее вероятные значения величин х_i, т. е. их средние значения:

<у> = f(<x₁>, <x₂>, …,<x_i>, …,<x_m>).

В этом случае абсолютная погрешность окончательного результата Δу определяется по формуле

, (11)

где ∂у/∂х_i – частные производные функции у по аргументам х_i, вычисленные для наиболее вероятных значений величин х_i. Частная производная – это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу х_i при условии, что все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительную погрешность величины у получим, поделив ∆у на <у>

. (12)

Принимая во внимание, что (1/у) dy/dx представляет производную по х от натурального логарифма у относительную погрешность можно записать так

. (13)

Формулу (12) удобнее использовать в тех случаях, когда в зависимости (10) измеряемые величины х_i входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (13) является удобной для расчетов тогда, когда (10) представляет собой произведения величин х_i. В последнем случае предварительное логарифмирование выражения (10) существенно упрощает вид частных производных. Измеряемая величина у является величиной размерной и логарифмировать размерную величину нельзя. Чтобы устранить эту некорректность, нужно разделить у на постоянную, имеющую данную размерность. После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое не зависит от величин х_i и поэтому исчезнет при взятии частных производных, так как производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому при логарифмировании наличие такого слагаемого просто подразумевается.

Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями ε_у = Δу/<у>, легко по известной величине Δу вычислить ε_у и наоборот.

Функциональная связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения для некоторых простых случаев приведена в табл. 3.

Рассмотрим некоторые особые случаи, возникающие при вычислении погрешностей измерений. Приведенные выше формулы для расчета погрешностей косвенных измерений справедливы только тогда, когда все х_i независимые величины и измерены различными приборами и методами. На практике это условие не всегда соблюдается. Например, если какие-либо физические величины в зависимости (10) измеряются одним и тем же прибором, то приборные погрешности Δх_{i пр} этих величин уже не будут независимыми, и приборная погрешность косвенно измеряемой величины Δу_пр в этом случае будет несколько больше, чем при «квадратичном суммировании». Например, если площадь пластины длиной l и шириной b измерены одним штангенциркулем, то относительная приборная погрешность косвенного измерения будет

(ΔS/S)_пр = (Δl/l)_пр + (Δb/b)_пр,

т.е. погрешности суммируются арифметически (погрешности Δl_пр и Δb_пр одного знака и их величины одинаковы), вместо относительной приборной погрешности

при независимых погрешностях.

Таблица 3

Функциональная связь погрешностей прямых и косвенных измерений

Рабочая формула	Формула для расчета погрешности

При проведении измерений возможны случаи, когда величины х_i имеют разные значения, специально изменяемые или задаваемые во время эксперимента, например, вязкость жидкости по методу Пуазейля определяют для разной высоты столба жидкости над капилляром, или ускорение свободного падения g определяют с помощью математического маятника для разных длин). В таких случаях следует вычислять значение косвенно измеряемой величины у в каждом из n опытов по отдельности, а в качестве наиболее вероятного значения ее брать среднее значение, т.е. . Случайная погрешность Δу_сл вычисляется как погрешность при прямом измерении. Вычисление приборной погрешности Δу_пр производится через частные производные по формуле (11), а окончательная полная погрешность косвенно измеряемой величины подсчитывается по формуле

. (14)