Ферма наименьшего веса
Оптимальной можно назвать прочную строительную конструкцию, выполняющую заданные в проекте функции, и в то же время легкую в изготовлении (технологичную) и требующую наименьшего расхода материалов. Последнее условие
Рис.6.2 особенно важно, так как стоимость материалов часто составляет большую часть расходов на строительство. Попытаемся, например, установить, какие условия нужно соблюсти, чтобы ферма с параллельными поясами, изображенная на рис. 6.2 имела минимальный вес. Предположим , что при заданном пролете число панелей не меняется, а варьируется только высота фермы h.. Рассмотрим две фермы: с высотой h1 и h2. Во второй ферме решетка показана пунктиром. Установим некоторые общие зависимости, связывающие усилия в элементах обеих ферм. Усилиям в ферме с высотой h1 будем придавать индекс 1, в фермах с высотой h2 - индекс 2. Усилие в любой панели верхнего или нижнего пояса определяется из уравнения Рис.6.3 равновесия с использованием моментной точки. Например, в третьей панели для нахождения усилия О1 в первой ферме и О2 во второй используется одна и та же моментная точка n-1 (рис.6.3). , (7.6) - это балочный момент, равный в обоих случаях сумме моментов всех левых сил относительно узла n-1. Поэтому (8.6) Подобное соотношение получается аналогичным образом и для усилий в нижнем поясе, если использовать моментную точку n: (9.6) Отсюда можно сделать вывод, что в любой панели усилия в поясах ( О или U) связаны зависимостью (10.6) Усилие в раскосах получают, проектируя все силы, попавшие в сечение, и нагрузки на вертикаль. Рассмотрим опять третью панель фермы 1. (11.6) Выражение в скобках соответствует поперечной силе в балке с пролетом, равным пролету фермы .Обозначив эту поперечную силу , получаем зависимость (12.6) Рассматривая то же сечение в ферме 2 , получаем подобное уравнение для нахождения (13.6) Отсюда следует, что в каждом сечении устанавливается простая зависимость (14.6) Усилия в стойках не зависят от высоты фермы: часть стоек не работает ( нулевой стержень перечеркнут одной чертой), стойки под силами сжаты , т.е. (15.6) Предположим, что ферма изготовлена из материала, имеющего постоянный объемный вес. Тогда ферма наименьшего веса будет иметь и наименьший объем и задача сводится о нахождению фермы наименьшего объема, выдерживающую заданную нагрузку. Объем U любого элемента фермы равен U = А , (16.6) Где А – площадь сечения стержня, l – длина стержня. Длины стержней верхнего и нижнего пояса постоянны и равны d. Длина стоек h – величина переменная, которую и будем варьировать при решении задачи. Длина раскосов равна . (17.6) Предположим также , что допускаемое напряжение на растяжение и сжатие постоянно и равно [ . Тогда площадь сечения любого элемента фермы можно определить по формуле A = . (18.6) Здесь S усилие в любом элементе фермы, т.е O, U, V или D. Подставляя ( 18.6 ) в ( 16.6 ), получаем формулы для подсчета объемов элементов фермы Uстойки = Uпояса = (19.6) Uраскоса = Учитывая соотношения (10.6, 14.6 и 15.6 ) , выражения для объемов отдельных стержней можно представить как функции одной переменной – высоты фермы h. Uстойки = С1 h, где С1 = Uпояса = С2 где С2 = (20.6) Uраскоса = С3 где С3 = Здесь введены обозначения С1 , С2 и С3 для тех компонентов выражений (20.6), которые не зависят от изменения h. Объем всей фермы получают, суммируя объемы всех ее элементов Uфермы = Uстойки + Uпояса + Uраскоса = = (21.6) Исследуя объем фермы на экстремум, приравняем нулю производную от Uфермы по h. (22.6) В каждом конкретном случае уравнение (21.6 ) позволяет найти соотношение между h и d, при котором ферма будет иметь наименьший объем, и, следовательно, наименьший вес. Покажем расчет на примере фермы, изображенной на рис. 6.4 Из условий симметрии: VA = VB =
Рис.6.4 В симметричной ферме можно ограничиться нахождением усилий в стержнях лежащих по одну сторону от оси симметрии. Из равновесия узла А (рис. 6.5 ) получаем
Рис.6.5 Из равновесия левой части фермы относительно сечения второй панели ( рис 6.6 ), получаем
Из равновесия узла 6 получаем Рис.6.6 V16 = P, UA6 = U65 . Результаты расчета удобно свести в таблицу.
Общий объем фермы равен удвоенной сумме величин, расположенных в последнем столбце таблицы Uфермы =2 (23.6) Приравнивая производную по h нулю, получаем Uфермы =2 h = . (24.6) Итак, ферма будет иметь наименьший объем (вес) если тангенс угла наклона раскоса к поясу будет равен 1,527., а угол составит 560 45’. Подставляя (24.6 ) в (22.6) получаем наименьший объем фермы Uфермы =18,33 . (25.6) Если h = d, то объем фермы получается равным Uфермы = , (25.6) то есть на 9,1% больше, чем в “оптимальном” варианте. Замечание: Наиболее удобно конструировать узлы фермы, если раскосы подходят к поясам под углом около 450 .Поэтому по технологическим соображениям не всегда удается спроектировать ферму наименьшего веса. Вопросы для самоконтроля 1.Какие усилия (растяжение или сжатие) возникают в элементах верхнего пояса балочной фермы при действии вертикальной нагрузки? 2.Какие усилия возникают в стержнях нижнего пояса балочной фермы при действии вертикальной нагрузки? 3.В чем различие напряженных состояний балочных ферм с разным очертанием верхнего пояса при действии вертикальной нагрузки? 4.Какой математический прием применяется для определения фермы наименьшего веса?
Глава 7
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (779)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |