Простой трубопровод постоянного сечения

Рис. 7.2

Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве, имеет общую длину l, диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, считая α1 = α2 и исключая скоростные напоры (вследствие постоянства диаметра трубопровода):

или .

Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения, назовем потребным напором H_потр. Если эта высота задана, то будем ее называть располагаемым напором H_расп. Как видно из формулы, этот напор складывается из геометрической высоты , на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, пьезометрической высоты (давления) в конце трубопровода и суммы всех потерь в трубопроводе.

Обозначив – статический напор, а , получим

, (7.1)

где K – сопротивление трубопровода, m зависит от режима течения.

В данном случае под потребным напором понимается абсолютный напор, т.е. с учетом пьезометрической высоты (статического давления) в конце трубопровода. Если это выражение привести к размерности давления, то получим

(ата).

При ламинарном течении при расчете гидравлически длинных трубопроводов потери на трение можно определить в следующем виде:

, откуда и m = 1. (7.2)

Если учесть местные потери, которые составляют в данном случае не более 10 % от потерь на трение, то коэффициент примет вид: .

Также при расчете гидравлически длинных трубопроводов потери на трение можно записать в виде: , где ; ; m = 2 (формально, на самом деле m = 1); также, если учесть местные потери, составляющие меньше 10%, будем иметь .

Если учесть местные сопротивления, потери в которых превышают 10%, при ламинарном режиме течения ( ), то имеет вид:

, (7.2а)

где .

Если Re<Re_вл, то B = 0 и ; если Re_вл < Re < Re_нкв, то ; если Re > Re_нкв, то A = 0 и .

Для турбулентного течения, выражая скорость через расход, получаем

;

. (7.3)

Показатель степени для автомодельной области течения m = 2 (это относится к потерям на трение и потерям в местных сопротивлениях), в области течения с законом сопротивления, отличным от автомодельного, показатель степени принимает значения, близкие к двум. Коэффициент потерь в местных сопротивлениях в зависимости от вида местного сопротивления и числа Re определяется аналогично коэффициенту потерь, рассмотренного при ламинарном режиме течения (см. выше).

При расчете гидравлически длинных трубопроводов при турбулентном режиме (пренебрегаем местными потерями или учитываем их соответствующим коэффициентом) будем иметь:

или .

Формула (7.1), дополненная выражениями (7.2) и (7.3), является основной для расчета простых трубопроводов.

Рис. 7.3

По формуле (7.3) и (7.2) можно построить кривую потребного напора, т.е. его зависимость от расхода жидкости в трубопроводе (рис. 7.3 (а,б)):

.

Чем больше расход, который необходимо подавать по трубопроводу (при неизменной геометрии трубопровода со всеми местными сопротивлениями), тем больше потребный напор (так как с увеличением расхода увеличиваются потери KQ^m, на преодоление которых тратится энергия напора). При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (или близкой к прямой при учете зависимости местных потерь от Re при Re>Re_вл), при турбулентном – параболой с показателем степени, равным двум (при (область квадратичных сопротивлений) и местных сопротивлений при Re>Re_нкв) или близким к двум (при учете зависимости и местных сопротивлений от Re). Величина положительна при подъеме жидкости или при движении жидкости с повышением давления (давление в конце трубопровода больше давления в начале), и отрицательна при опускании (нивелирная высота в конце трубопровода меньше нивелирной высоты в начале) или движении жидкости в полость с разрежением (давление в конце трубопровода меньше давления в начале).

Крутизна кривых потребного напора для ламинарного и турбулентного режимов течения зависит от сопротивления трубопровода K (который в общем случае зависит и от Re) и возрастает с увеличением длины трубопровода и уменьшением диаметра (см. формулы (7.2) и (7.3)), а также с увеличением потерь на местных гидравлических сопротивлениях. Кроме того, при ламинарном течении наклон кривой (которую для этого течения можно считать прямой) изменяется пропорционально вязкости жидкости.

В случае самотечного трубопровода (движение жидкости происходит под действием разности геометрических высот Н –рис. 7.3(в)); при этом за начало трубопровода принимаем свободную поверхность в верхнем резервуаре, скорость которой равна нулю; давление в начале и конце трубопровода равно атмосферному, поэтому потребный напор равен нулю) при истечении жидкости в атмосферу (а не под уровень), в уравнение Бернулли к потерям напора добавляется скоростной напор. При истечении под уровень скоростного напора в уравнении Бернулли нет, но добавляются потери при выходе жидкости из трубопровода.

,

где .

Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс (точка А – рис. 7.3(в)) определяет расход жидкости при движении самотеком.

Иногда вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода. Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода:

.

Таким образом, характеристика трубопровода представляет собой кривую потребного напора, совмещенную с началом координат.

Рассмотрим три возможные задачи при расчете простого трубопровода.

Задача 1. Исходные данные: расход Q, давление в конце трубопровода p₂, нивелирные высоты z₁ и z₂, свойства жидкости (ρ, ν), размеры трубопровода, а также материал и качество поверхности трубы (шероховатость). Найти потребный напор H_потр.

Решение.

1. По Q и d находят скорость течения V.

2. По V, ν, d определяют Re и режим течения.

3. По Re и шероховатости определяют коэффициент трения λ.

4. По соответствующим формулам (или опытным данным) оценивают местные сопротивления.

5. Решают основное уравнение (7.1) с учетом (7.2) и (7.3).

Задача 2. Исходные данные: располагаемый напор H_расп, z₁ и z₂, p₂, свойства жидкости, все размеры и шероховатость трубопровода. Найти расход Q'.

Решение.

В общем случае решение различно для ламинарного и турбулентного режимов течения. Для простоты для ламинарного и турбулентного режимов течения решать задачу будем единообразно.

При турбулентном и ламинарном течении (коэффициент местных потерь в общем случае равен ) задачу можно решать методом последовательных приближений или графоаналитическим способом. Рассмотрим графоаналитический способ при турбулентном режиме (при ламинарном режиме отличие будет заключаться в использовании других зависимостей для λ_л и x).

Для решения задачи графоаналитическим способом строят кривую потребного напора H_потр= f(Q) для данного трубопровода с учетом переменности λ_т и коэффициента местных потерь x, т.е. для ряда значений Q подсчитывают скорость V, с учетом скорости – Re, по числу Re определяют режим течения жидкости. Затем по числу Re и относительной шероховатости поверхности определяют область режима течения (гидравлически гладких труб, шероховатых и др.), затем по соответствующим зависимостям для различных областей течения находят λ_т, определяют местные потери, которые в общем виде определяются как и, наконец, потребный напор:

.

Отметим, что минимальное (первое) значение Q задается такое (методом проб и ошибок), чтобы потребный напор для этого расхода оказался меньше располагаемого, а при максимальном расходе Q потребный расход должен быть больше располагаемого. Затем, построив кривую H_потр от Q и зная ординату H_потр= H_расп, находят соответствующую ей абсциссу, т.е. искомый расход Q'.

Аналогично можно решить задачу для ламинарного режима течения, при этом коэффициент потерь будет определяться выражением:

.

Задача 3. Исходные данные: расход Q, располагаемый напор H_расп, свойства жидкости, z₁, z₂, p₂, и все размеры трубопровода, кроме диаметра. Найти диаметр трубопровода d'.

Решение.

Для простоты для ламинарного и турбулентного режимов течения решать задачу будем единообразно.

При турбулентном течении решение уравнения (7.1) с учетом выражения (7.3) относительно d можно выполнить графоаналитически следующим образом: задать ряд стандартных значений d и для заданного Q, подсчитать ряд значений H_потр (по Q определить скорость V, затем Re, затем λ_т и , – если есть местные сопротивления), затем построить кривую H_потр от d, аналогично построению кривой потребного напора, и по заданному H_расп по построенной кривой определить d'', выбрать ближайший больший стандартный размер d' и уточнить H_потр.

.

Аналогично можно решить задачу для ламинарного режима течения (выражение для коэффициента потерь – см. выше).