Основные этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования включает в себя ряд этапов. Начинается он с постановки задачи, решение которой должно быть получено посредством использования модели. При этом нельзя ограничиваться выделением определенного объекта для изучения. Любой объект неисчерпаем в своих свойствах и отношениях, поэтому нельзя изучать сразу все бесконечное богатство содержания объекта. В соответствии с конкретной задачей необходимо выделить некоторые свойства и связи (отношения), исследование которых может привести к достижению цели. Следовательно, на данном этапе объект изучается лишь под определенным углом зрения, т.е. более или менее односторонне.

Постановка задачи включает в себя содержательный и математический аспекты. Содержательная постановка включает в себя следующие элементы: физические (химические и др.) факторы нужно учесть; конкретные вопросы, которые требуют численного ответа; требования к точности ответов; пределы изменения значения входных параметров, степень точности и количество их комбинаций; цели, которым будет служить вычисляемое решение и объем ресурсов, затрата которых оправдана с точки зрения достижения этих целей.

Второй этап – разработка ММ. При разработке ММ создается объект, в котором интересующие свойства и соотношения оригинала могут быть получены проще, чем при непосредственном его изучении. Объект как бы освобождается от связей и отношений, затрудняющих его познание. Необходимо подчеркнуть, что ММ может появиться только как следствие четкого формального описания рассматриваемого объекта с требуемой степенью приближения к действительности. На этом этапе предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее, для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение (или систему уравнений), отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнения связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.

На третьем этапе ММ, о которой ранее говорилось как о средстве познания, становится объектом исследования. При этом все действия производятся над моделью и направлены непосредственно на получение знаний об этом объекте, на установление законов его развития, его свойств и отношений. Все эксперименты проводятся только с моделью. Предметом теоретического анализа также является ММ. Важным преимуществом исследования модели является наличие возможности повторять многие явления для различных исходных условий и с различным характером их изменения во времени. При этом объекты, являвшиеся ранее лишь объектами наблюдения, благодаря математическому моделированию становятся объектами экспериментирования.

На четвертом, заключительном этапе процесса математического моделирования необходимо рассматривать вопрос о переносе значений, полученных на ММ, не реальный объект изучения. Знания, получаемые при исследовании ММ, относятся прямо и непосредственно лишь к объекту изучения, т.е. к самой модели. Исследователя, однако, интересует не модель как таковая и не ее свойства, а свойства другого объекта (оригинала), который замещается моделью в процессе исследования. Возможность такого перевода знаний существует благодаря наличию определенного соответствия элементов и отношений модели элементам и отношениям оригинала. Связи соответствующих элементов и отношений одного множества (математической модели) с элементами и отношениями другого множества (оригинала) устанавливаются в процессе моделирования.

Вместе с тем при использования метода математического моделирования необходимо иметь в виду качественно-количественную специфику моделируемого объекта и учитывать ее при переносе знаний с математической модели на оригинал. Здесь имеется в виду прежде всего вопрос о точности получаемых данных. Построенная на основе физических представлений модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности ММ реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.

На рис. 12.1 изображена общая схема разработки математической модели.

Постановка задачи моделирования

Формулирование задачи, Определение цели

выбор параметров процесса и критериев

Составление математического описания

Аналитические Экспериментальные Экспериментально-

методы методы аналитические

методы

Составление алгоритма и реализация

его в виде программы

Выбор численного Составление алгоритма

метода решения

Программирование Отладка программы

Установление адекватности

модели объекту

Использование математической

модели

Рис. 12.1 Этапы разработки математической модели