Свойства простых чисел
1) Всякое натуральное число, большее 1, делится по крайней мере на одно простое число. Доказательство: Пусть и . Если п - простое, то все доказано, т.к. . Если п - составное, то п делится на число , меньшее, чем п. Если - простое, то свойство доказано: . Если - составное, то и и т.д. Процесс выделения делителей оборвется через конечное число шагов, когда мы придем к простому делителю. ▲. 2) Любое целое число или делится на простое число р, или взаимно просто с ним. Доказательство: Пусть а - целое число; обозначим . Так как - простое, то или а тогда , или а тогда а и р взаимно просты. ▲. 3) Два различных простых числа взаимно просты. Доказательство: Пусть - простые и Для определенности пусть (докажем это от противного – пусть и т.к. то , ). ▲. 4) Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число. Доказательство: Пусть р – простое число, Если то всё доказано. Если то по свойству 2, по свойствам взаимно простых чисел ▲. Замечание: использовано следующее свойство взаимно простых чисел: Доказательство: ▲. Следствие: Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на это число р. (доказательство методом математической индукции по числу п сомножителей). Теорема 1. (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ).Всякое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей. Доказательство: 1. Возможность указанного представления. Применим метод математической индукции. 1) Для числа 2 утверждение теоремы тривиально. 2) Допустим, что теорема верна для всех натуральных чисел, меньших п. 3) Докажем теорему для числа п. Если п - простое число, то всё доказано. Если п - составное число, то Тогда в силу индуктивного предположения допускают разложение на простые множители: Тогда и возможность разложения числа п доказана. 2. Однозначность разложения. Для доказательства однозначности разложения с точностью до порядка следования сомножителей также применим метод математической индукции. 1) Для числа 2 утверждение справедливо, т.к. 2 – простое число. 2) Допустим, что утверждение верно для всех натуральных чисел, меньших п. 3) Докажем утверждение для числа п. Допустим, что п двумя способами разложено в произведение простых сомножителей: и , где простые числа . Тогда один из сомножителей произведения делится на . Тогда Но число Тогда по индуктивному предположению для т утверждение справедливо, т.е. два разложения числа т могут отличаться только порядком следования сомножителей. Следовательно, простые числа только порядком следования. Значит утверждение верно и для числа п. Итак, по методу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа, большего 1. ▲. Замечание: Среди сомножителей в разложении могут быть равные. Их произведение принято записывать в виде степеней. Пусть различные простые сомножители числа п и число входит в разложение числа п раз , тогда число п можно записать в виде: . Такое разложение называется каноническим разложением числа п. Пример: Найдем каноническое разложение числа 1176. Значит
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2880)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |