Каноническое разложение многочлена на множители
1) Если – разложение многочлена на неприводимые множители и – старшие коэффициенты многочленов соответственно, то это разложение можно записать в виде: , где – неприводимый многочлен со старшим коэффициентом, равным 1 . . В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. 2) В разложении среди сомножителей могут быть равные и их можно объединить в степени. Тогда разложение примет вид: , где – попарно различные неприводимые над Р многочлены со старшими коэффициентами, равными 1 (нормированные многочлены), . Такое разложение многочлена называют каноническим разложением многочлена f(x) на множители.
ВОПРОС № 9 Разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
п. 1. Многочлены над полем комплексных чисел . Опр.1. Многочлен кольца степени называется приводимым над полем , если , такие что , причем и . В противном случае, многочлен называется неприводимым над . Справедлива так называемая основная теорема алгебры: Теорема 1. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени имеет хотя бы один комплексный корень. Внимание: необходимо знать понятие корня многочлена: если , то называется корнем , если . Теорема 2. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются только многочлены первой степени. Доказательство вытекает из теоремы 1. Как известно, всякий многочлен степени может быть представлен в виде: , где – попарно различные нормированные неприводимые над Р многочлены (это так называемое каноническое разложение многочлена ). Поэтому имеет место следующее предложение: Каноническое разложение многочлена степени имеет вид: , где – попарно различные комплексные числа. Следствие: Многочлен степени имеет ровно п корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.
п. 2. Многочлены над полем действительных чисел . Пусть – кольцо многочленов над полем действительных чисел . Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если , то через будем обозначать сопряженное комплексное число . Используя свойства сопряженных комплексных чисел , если , легко доказать следующее предложение: Предложение 1: Если многочлен из кольца и z – произвольное комплексное число, то . Доказательство: Пусть ▲. Теорема 3. Пусть произвольный многочлен из кольца . Если – мнимый корень многочлена , то число также является корнем этого многочлена. Доказательство: Так как – корень , то . Тогда по предложению 1, – корень . ▲.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1676)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |