Эвольвента и ее свойства

Но vⁿ₁= v₁×cosa₁= ω₁× О₁М× cosa₁= ω₁× О₁К₁

v_ск= ω₂×l₂- ω₂×l_М- (ω₂ × l₂/ l₁)×l₁- ω₁×l_М=± l_М(ω₁+ ω₂)

Скольжение между зубьями будет тем больше, чем дальше находится точка касания от полюса зацепления.

v_ск­при l_М­, v_ск=0приl_М=0, т.е. только в одном положении, когда точка касания зубьев совпадает с полюсом зацепления Р, нет скольжения между профилями зубьев, т.к. скорости точек касания в этом положении векторно равны.

Эвольвента и ее свойства

Эвольвента (предложена Эйлером) – кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании этой прямой по окружности без скольжения.

Рассмотрим построение эвольвенты.

К окружности с центром в т.О (рис.16) проведена касательная в т.А. Будем перекатывать прямую по окружности без скольжения. Для этого от т.А отложим по прямой ряд одинаковых по длине отрезков А-1, 1-2,2-3,3-4… По окружности от т.А отложим дуги ÈА-1’, È1’-2’ и т.д., равные этим отрезкам. При перекатывании прямой по окружности без скольжения т.1 совпадет с т.1’ и т.д. Проведем в точках 1’, 2’,… касательные к окружности (проводим радиус, а затем перпендикуляр) и отложим на них от точек касания отрезки 1’А₁, 2’А₂,…, равные, соответственно, отрезкам прямой А1, А2, А3… Соединяя точки А, А₁, А₂, А₃, А₄ плавной кривой получим эвольвенту.

Рис. 16 Построение эвольвенты

Прямая, перекатывающаяся по окружности, называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая, называется основной и ей присваивается индекс b. Точка А, лежащая на основной окружности, является начальной точкой эвольвенты. Следовательно, внутри основной окружности эвольвента находиться не может. Для точки А радиус-вектор равен радиусу основной окружности, радиус кривизны r равен 0, эвольвентный и профильный угол тоже равны 0.

Эвольвента обладает следующими свойствами:

1) Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в любой ее точке и является касательной для основной окружности;

2) Эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее;

3) Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности; при увеличении радиуса r_b радиус кривизны эвольвентного профиля постепенно увеличивается, при r_b=¥ эвольвента преобразуется в прямую (этот случай имеет место при реечном зацеплении);

4) Эвольвента является кривой без перегибов;

5) Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Выведем уравнение эвольвенты.

Пусть координатами какой-либо точки А₄ эвольвенты будут: R – радиус-вектор и q - эвольвентный угол – угол между радиусом-вектором начальной точки эвольвенты и радиусом-вектором т.А₄ (текущей точки), a - профильный угол, т.е. угол профиля текущей точки эвольвенты.

Из треугольника ОМА₄ имеем R=r_b/cosa(1) – радиус-вектор профиля.

Т.к. перекатывание происходит без скольжения, то А₄М=ÈАМ;

А₄М=r_b×tga; ÈАМ= r_b×(q+a);

tga=q+a Þ q=tga-a=inva (2) - эвольвентная функция угла a, или инволюта. Составлены таблицы инволютных значений углов. Уравнения (1) и (2) – уравнения эвольвенты окружности в полярных координатах в параметрической форме.