Свойства определителей
В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова
ЛИНЕЙНая АЛГЕБРа И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рекомендовано научно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Ярославль 2015
УДК 517(07) ББК 22.1 Р65 Ройтенберг, В. Ш. Р65 Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие / В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова. – Ярославль: Издат. дом ЯГТУ, 2015. – ISBN
В каждом разделе приводятся основные понятия, утверждения и формулы, подробно разбираются решения типовых задач, даны задачи для самостоятельного решения. Даны варианты тестов по темам: «матрицы и системы линейных уравнений», «векторная алгебра» и «аналитическая геометрия». Предназначено для студентов технических и экономических специальностей при изучении курса математики.
УДК 517(07) ББК 22.1
Рецензенты:.
ISBN ãЯрославский государственный технический университет, 2015 ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено студентам, изучающим курс линейной алгебры и аналитической геометрии в объеме программы для высших технических заведений. Линейная алгебра и аналитическая геометрия – первый математический курс, который студенты изучают в вузе. Матрицы, определители, системы линейных уравнений, линейные операторы, уравнения плоскостей и прямых – вопросы, значительно отличающиеся от того, с чем студенты имели дело в школе. Чтобы этот большой и новый для студента материал был усвоен за небольшое время, отведенное на его изучение, необходима систематическая работа по освоению терминологии, основных понятий и методов. Предлагаемое пособие предназначено для помощи студентам в организации такой работы. Пособие можно использовать в самостоятельной работе студентов при выполнении расчетно-графической работы, при подготовке к практическим занятиям, к контрольным работам (тестам), к зачету или экзамену, а также как задачник на практических занятиях. Пособие содержит 12 разделов и приложение. Каждый раздел делится на три части. В первой части излагаются основные понятия, утверждения и формулы, изучаемые в разделе. Во второй части даются примеры решения типовых задач. Они предназначены как для иллюстрации изучаемых понятий и формул, так и для демонстрации техники вычислений и методов решения задач. Решения даются с систематическими ссылками на соответствующие теоретические положения и формулы из первой части, они содержат подробные выкладки, геометрические задачи сопровождаются рисунками. В третьей части даны задачи для самостоятельного решения. Часть задач аналогична решенным в качестве примера, к некоторым даны указания по методу решения, нужным формулам и т.п. Ответы к задачам даны в конце пособия. В приложении приводятся по два варианта заданий каждой из трех контрольных работ в виде тестов, которые даются студентам ЯГТУ. Темы контрольных: 1) матрицы и системы линейных уравнений, 2) векторная алгебра, 3) аналитическая геометрия. Для одного варианта даны решения, для другого только ответы. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные понятия и формулы Матрицы Матрицей размера (или просто -матрицей) называется прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы) из строк и столбцов. При конкретных значениях и задать матрицу можно, просто записав эту таблицу; например, , , – разные формы записи одной и той же -матрицы. Мы будем пользоваться записью в круглых скобках. В общем случае матрица обычно обозначается прописной буквой, например, , а ее элемент, стоящий в -ой строке, -м столбце, соответствующей строчной буквой с индексами и . Обозначения: , , . Для матрицы , например, , а . Задать -матрицу означает задать правило вычисления любого ее элемента по номерам строки и столбца , в которых он находится. Матрица размера называется квадратной матрицей -го порядка: . Числа , ,…, образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется (верхне)треугольной, есливсе ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: при . Важная роль треугольных матриц будет ясна из дальнейшего. -матрицу часто называют строкой или арифметическим вектором-строкой длины , -матрицу – столбцом или арифметическим вектором-столбцом высоты .
Понятие определителя Для каждой квадратной матрицы -го порядка ( ) определено число, обозначаемое или и называемое определителем матрицы (определителем -го порядка). При матрица состоит из одного элемента, . При . (1.1)
При любом – сумма всевозможных произведений элементов матрицы , стоящих в разных строках и разных столбцах, со знаком или , определяемым порядком сомножителей:
. (1.2) Здесь: сомножители ,, …, выбраны последовательно из 1-ой, 2-ой, …, -ой строки; – соответствующая последовательность номеров столбцов; – число инверсий в последовательности : число и число с большим номером ( ) образуют инверсию, если . При четных величина , при нечетных – . Формула (1.1), конечно, частный случай общей формулы (1.2) (см. пример 1.2.6). При формула (1.2) принимает вид
. (1.3)
Из (1.2) следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: .
Свойства определителей Здесь для краткости под элементами, строками и столбцами определителя мы будем понимать элементы, строки и столбцы соответствующей матрицы.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (516)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |