Метод Гаусса решения линейных систем
Метод Гаусса для невырожденных квадратных линейных систем (3.1) состоит в том, что 1) с помощью элементарных преобразований: а) перестановки любых двух уравнений местами; б) прибавление к любому уравнению другого уравнения, умноженного на число система приводится к равносильной системе
(3.4)
с треугольной основной матрицей, имеющей тот же определитель, что и матрица , а потому с ненулевыми диагональными элементами , , …, (прямой ход метода); 2) из системы (3.4) последовательно находятся значения неизвестных, начиная с последнего (обратный ход метода): ,…, , . Заметим, что невырожденность квадратной линейной системы, то есть условие , до начала решения проверять не нужно; если система приводится к виду (3.4), то она невырожденная. Метод Гаусса можно распространить на любую линейную систему (3.1), добавив к числу элементарных преобразований в) перенумерацию неизвестных; г) удаление «нулевого уравнения» , которому удовлетворяет любой набор чисел . Если по ходу преобразований встретится уравнение вида , где , то оно не имеет решений и, тем более, вся система не имеет решений – несовместна. Если такое уравнение не встретилось, то система преобразуется в равносильную систему из уравнений
(3.5)
где все те же неизвестные , но возможно пронумерованные в другом порядке, а числа , ,…, не равны нулю. Если , то, как и выше, обратным ходом получаем единственное решение. Система определенна. Если , то неизвестным придаем произвольные значения и из (3.5) обратным ходом выражаем последовательно через . В итоге имеем бесконечное множество решений, зависящих от произвольных постоянных , меняя которые получим все решения. Таким образом, в этом случае система неопределенна. Примеры решения задач 3.2.1.Решить линейную систему
(3.6) Решение 1 (По формулам Крамера). ◄ Линейная система (3.6) – квадратная: число уравнений равно числу неизвестных – трем. Определитель основной матрицы (из коэффициентов при неизвестных)
то есть система невырожденная, и можно применять формулы Крамера (3.3). Составим и вычислим определители , , заменив в -й столбец на столбец свободных членов: , , . По формулам Крамера (3.3) , , .► Решение 2 (Матричным методом – с помощью обратной матрицы). ◄ Линейную систему (3.6) можно записать в виде одного матричного уравнения , где – основная матрица системы, – матрица-столбец из неизвестных , – матрица-столбец из свободных членов. Матрица, обратная к , была вычислена в примере 2.2.5. Решение системы находим по формуле (3.2): , то есть .► Решение 3 (Методом Гаусса). ◄ Прямой ход метода: Шаг 1. Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на ( ), к третьему прибавляем первое, умноженное на ( ). Шаг 2. К третьему уравнению прибавляем первое, умноженное на ( ). Обратный ход метода: Начиная с последнего уравнения, последовательно находим : Замечание. Разумно упростить процедуру, выписывая только матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (расширенную матрицу системы): На последнем шаге прямого хода мы для наглядности все-таки вернулись к подробной записи системы. ► 3.2.2.Решить линейную систему ◄ Решаем методом Гаусса. Прямой ход метода: Шаг 1. Первое уравнение заменим на разность между вторым и первым. Цель – получить 1 в качестве коэффициента при в первом уравнении. Шаг 2 . Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на (–3), к третьему прибавляем первое, умноженное на (–5), к четвертому прибавляем первое, умноженное на (–7). Шаг 3. К третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на ( ), к четвертому прибавляем второе, умноженное на (–3). Шаг 4. Отбрасываем нулевые уравнения.
Обратный ход метода: Неизвестным и можно придать произвольные значения: , . Тогда , . Таким образом, все решения (общее решение) системы задаются формулами , , , , где и – произвольные числа. Меняя и , мы получим любое решение. ►
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (433)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |