Базисы в линейном пространстве
Упорядоченный набор векторов
(5.5)
линейного пространства образуют базис в , если 1) векторы (5.5) линейно независимы, 2) любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов (5.5):
. (5.6)
Равенство (5.6) называется разложением вектора по базису (5.5). Для каждого вектора числа определяются однозначно; они называются координатами вектора в базисе (5.5). При фиксированном базисе соответствие между векторами и их координатными строками – арифметическими векторами взаимно-однозначно: каждому вектору соответствует единственная строка, разным векторам – разные строки. Как и в случае геометрических векторов, при сложении двух векторов их координатные строки складываются, при умножении на число – умножаются на это число. Вышесказанное позволяет при выполнении линейных операций фактически отождествить вектор с его координатной строкой и писать . Линейные пространства, в которых существует базис, называются конечномерными. Можно показать, что любой базис в конечномерном линейном пространстве содержит одно и то же число векторов. Это число называется размерностью линейного пространства ; говорят, что – -мерное линейное пространство и обозначают его с указанием размерности: . Согласно п. 5.1.5 линейное пространство геометрических векторов на плоскости двумерно, линейное пространство геометрических векторов в пространстве трехмерно. Пространство -мерно. Линейное пространство, в котором существует любое число линейно независимых векторов и потому не существует базиса, называется бесконечномерным. Например, бесконечномерным является линейное пространство всех функций на (см. задачу 5.3.20).
Примеры решения задач
5.2.1.
◄ Разложение вектора по базису имеет вид (рис. 5.4). ►
5.2.2.Даны векторы и . Найти , , . ◄ Задание можно понимать двояко. 1) В некотором базисе заданы координаты геометрических векторов и . Надо найти координаты указанных векторов в том же базисе. 2) Заданы арифметические векторы – строки из 3 чисел и надо сделать с ними указанные операции. Наши действия в обоих случаях одинаковы – используем формулы (5.2): , , . ► 5.2.3.Коллинеарны ли векторы и , и , если , , . ◄ Координаты векторов и пропорциональны: . Следовательно, или в более симметричной записи , то есть векторы и линейно зависимы и потому коллинеарны: . Координаты векторов и не пропорциональны: . Поэтому векторы и не коллинеарны (линейно независимы). ► 5.2.4.Убедиться, что векторы , , линейно зависимы. Найти эту зависимость. Является ли вектор линейной комбинацией векторов и ? ◄ Мы должны показать, что векторы , , удовлетворяют соотношению (5.1): , где хотя бы одно отлично от нуля. Из (5.2) следует, что в координатах это равенство имеет вид или Решаем эту систему методом Гаусса. , , , где . Для определенности возьмем . Тогда , , . Таким, образом, показано, что векторы , , линейно зависимы, и эта зависимость имеет вид . Любой из векторов , , можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. В частности, . ► 5.2.5.Компланарны ли векторы , , ? ◄ Компланарность трех векторов равносильна их линейной зависимости. Поскольку вид линейной зависимости, если она существует, нас не интересует, то удобно не использовать непосредственно определение линейной зависимости, как в задаче 5.2.4, а ограничиться проверкой условия компланарности векторов в форме (5.4): , Следовательно, векторы , , компланарны. ►
5.2.6.1) Убедиться, что векторы , , образуют базис; 2) разложить вектор по этому базису. ◄ 1) Так как , то векторы линейно независимы (некомпланарны) и образуют базис; 2) разложение вектора по базису имеет вид . Это векторное равенство в координатной форме равносильно системе линейных уравнений: Решая эту систему, получаем , , . Значит, . ►
5.2.7.Доказать, что множество всех многочленов от одной переменной степени с «обычными» операциями сложения и умножения на действительное число является линейным пространством. Найти его базис. Доказать, что множество всех многочленов второй степени, то есть квадратных трехчленов, не является линейным пространством. ◄ 1. Многочлен степени имеет вид , где коэффициенты и – действительные числа. При – многочлен второй степени, при , – многочлен первой степени, при – многочлен нулевой степени. 2. Произведение многочлена на число – также многочлен степени . Сумма многочленов и – многочлен , степень которого не превышает 2. Свойства 1-8 из определения линейного пространства очевидно выполняются. Роль нулевого вектора играет нулевой многочлен , многочлен, противоположный имеет вид . Таким образом, множество всех многочленов степени с определенными выше операциями суммы и произведения на число является линейным пространством. 3. Покажем, что многочлены , , образуют базис линейного пространства . Проверим их линейную независимость. Равенство (5.1) в нашем случае имеет вид для всех , то есть для всех . Так как уравнение степени с ненулевыми коэффициентами имеет не более двух корней, то это равенство возможно только при . Это означает, что многочлены , , – линейно независимы. Очевидно, что любой многочлен – их линейная комбинация: . 4. Операции над многочленами второй степени могут дать многочлен меньшей степени. Например, произведение числа 0 на многочлен второй степени равно нулю, сумма многочлен второй степени с противоположным многочленом также нуль, а нуль – многочлен нулевой степени. Поэтому множество многочленов второй степени не является линейным пространством. ►
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (821)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |