Собственные значения и собственные векторы
Собственным вектором линейного оператора (матрицы) , соответствующим собственному значению называется ненулевой вектор такой, что . (6.2)
Таким образом, линейный оператор преобразует свой собственный вектор в вектор ему коллинеарный (сонаправленный с при и противоположно направленный при ). Любой ненулевой вектор , коллинеарный собственному вектору , также является собственным, соответствующим тому же собственному значению : . В координатах равенство (6.2) имеет вид
(6.3)
Это система линейных уравнений относительно координат , собственного вектора. Она имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю:
. (6.4)
Таким образом, для нахождения собственных значений получили квадратное уравнение (6.4). Оно называется характеристическим уравнением. Найдя из него собственное значение , надо подставить его в (6.3). Решив полученную систему линейных уравнений, найдем координаты и собственного вектора, соответствующего собственному значению . Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейный оператор не имеет собственных векторов. Например, их нет у оператора поворота на угол , . Аналогично, формула (6.2) определяет собственный вектор , соответствующий собственному значению , для квадратной матрицы -го порядка (линейного оператора в ) при любом . Собственные значения находятся из характеристического уравнения
.
Для каждого собственного значения координаты ,…, соответствующего собственного вектора находятся из системы линейных уравнений
Примеры решения задач 6.2.1.Дана матрицалинейного оператора . Записать равенство в координатной форме. ◄ По определению (формула (6.2)) ► 6.2.2.Найти вектор , в который линейный оператор преобразует вектор . ◄ Линейный оператор преобразует вектор в его образ . ► 6.2.3.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы) . ◄ Собственные значения находим из характеристического уравнения (6.4): , корни которого и . Система (6.3) для нахождения координат и собственных векторов в рассматриваемом случае имеет вид
(6.5)
Подставим в нее : Полагая – произвольным, находим . Таким образом, векторы , где – собственные векторы, соответствующие собственному значению , то есть (рис 6.2). Подставим в (6.5) : Полагая – произвольным, находим . Таким образом, векторы , где – собственные векторы, соответствующие собственному значению , то есть (рис 6.2) . Возьмем и разложим произвольный вектор по базису из векторов , : . Тогда его образ , то есть действие оператора на произвольный вектор состоит в «растяжении» его по направлениям собственных векторов и , соответственно в и раз (рис 6.2). ►
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (703)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |