К.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

f(x)+xf(x+1) = 1

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие решать функциональные уравнения.

Для решения функциональных уравнений используются следующие методы:

Ø Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции (Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.)

Ø Метод подстановок (Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным.)

Ø Дифференцирование (В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.)

Ø С применением теории групп (Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.) [3]

Ø С применением теории матриц

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы , составленной из коэффициентов a, b, c, d.

Пример. Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению

(5.7)

Решение. Решаем матричное уравнение AХ = В, где ; . Для матрицы A обратной является матрица . Тогда . Матрица X имеет вид , поэтому применим к уравнению (5.7) подстановку . Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (5.7) соответствует матрица . Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на . В результате получим . Таким образом, из уравнения (5.7) находим