Глава 2. Дифференцирование функций. 224. 225. 1) y = u3, u = sin v, v = 2x +1; 2) y = eu, u = arctg v, , z = 1 + t, t = ln s, s = 2x +3; 3) y = sin v

 

224. . 225. 1) y = u³, u = sin v, v = 2x +1; 2) y = e^u, u = arctg v, , z = 1 + t, t = ln s, s = 2x +3; 3) y = sin v, v = ln u, u = arcctg z, z = 2x. 227. x₁ = 0, x₂ = 4. 228. x₁ = -2, x₂ = 5, x₃ = .

229. 1) не определена только при x = 0, x = -1, x = 1; 2) и , в интервале (1;3) функция не определена; 3) ; 4) ; 5) не имеет смысла. 230. 1) да; 2) тождественны на интервале (0; ¥). 231. 1), 2), 8) – четные; 3), 5), 6), 9) — нечетные; 4), 7) — ни четные, ни нечетные.

232. 1) ; 2) ; 3) . 233. v = sin (1 + x). 234. 1) y = 5^u, u = v², v = 3x +1; 2) y = ln z, z = cos u, u = arctg v, w = t – s, t = e^x, s = e^q, q = –x; 3) y = arcos u, u = ln v, v = tg z, z = 4x. 237. 4 и -2; -2, 2, 4, 10. 238.1) вся числовая ось, кроме точек x = 1 и х = 2; 2) и ; 3) ; 4) . 239. 1) тождественны на любом интервале, не содержащем точку х = 0; 2) тождественны на промежутке [0; ¥). 240. 4), 5), 6) — четные; 3), 7) — нечетные; 1), 2), 8) — ни четные, ни нечетные. 241. 1) ; 2) ; 3) . 242. , как только или ; , как только .

243. , если ; n = 0, если . 244. , если ; N = 0, если e > 1. 245. При . 246. ; , как только ; , как только . 247. N = 19999. 248. ; d < 0,00025.

249. При . 250. 0,5. 251. ¥. 252. 0. 253. 1. 254. 4. 255. 0.

256. . 257. 0. 258. –2. 259. . 260. 2,5. 261. –¥. 262. –1. 263. 0,25. 264. 0. 265. 100. 266. 1. 267. . 268. –0,5. 269. 0. 270. 0.

271. 1. 272. 3. 273. 0. 274. . 275. 0. 276. . 277. –1,5. 278. 1.

279. –2,5. 280. 0. 281. ¥. 282. 0,5. 283. 0. 284. –1. 285. –0,5. 286. ¥.

287. 0,5. 288. –1. 289. 0. 290. 1. 291. 9. 292. -0,6. 293.1,5. 294. 1.

295. ¥. 296. 0,25. 297. 4. 298. . 299. 0,5. 300. . 301. 0,4. 302. 0,75.

303. 1. 304. 6. 305. 0,5. 306. . 307. –0,5. 308. 0,125. 309. 0. 310. –1.

311. . 312. . 313. . 314. –0,25. 315. 3. 316. ¥. 317. 1. 318. –1.

319. . 320. 2. 321. 3. 322. -2. 323. 0,5. 324. e^-4. 325. 1. 326. .

327. Функция непрерывна в области [-8; -1), (-1; 1), (1; +¥); при х = 1 устранимый разрыв (положить ), при х = -1 разрыв второго рода: , . 328. Функция непрерывна в области (-¥; -1), (-1; 1), (1; 15]; при х = -1 устранимый разрыв (положить

), при х = 1 разрыв второго рода: , .

329. e^-2. 330. . 331. . 332. Функция непрерывна в области (-¥; -2), (-2; 2), (2; 11]; при х = 2 устранимый разрыв (положить ), при х = -2 разрыв второго рода: , . 333. Функция непрерывна в области (-¥; -1), (-1; 1), (1; 3]; при х = -1 устранимый разрыв (положить ), при х = 1 разрыв второго рода: , .

 

334. .

 

335. . 336. . 337. .

 

338. . 339. .

 

340. . 341. 3x² – 3^xln3. 342. e^x(x² + 1). 343. .

 

344. . 345. .

 

347. . 346. sin⁵3x·cos³3x. 348. .

 

349. ; .

 

350. . 351. .

 

352. . 353. .

 

354. . 355. . 356. e^x(cos x - sin x).

 

357. . 358. .

 

359. . 360. 2x²e^2x+3.

 

361. .

362. . 363. .

 

 

364. . 365. .

 

366. .

 

367. .

 

368. .

 

369. (2; 4). 370. x – y – 3e^–2 = 0. 371. . 372. .

 

373. . 374. .

 

375. . 376. .

 

377. .

 

378. Касательная x + 2y = 4a, нормаль y = 2x – 3a. 379. x + 25y = 0,

x + y = 0. 380. . 381. 382. 1)

 

2) . 383. 0,355. 384. 385. 207360. 386.

 

387. 388. .

 

389. . 390. 1)

2) 391. 0,995. 392.

 

393. 360. 394. 395. . 396. .

397. 398. 0. 399. cosa. 400. 1. 401. a. 402. 0,5. 403. .

404. 1. 405. 1. 406. e. 407. e². 408. . 409. 3. 410. 0. 411. 1.

412. . 413. . 414. . 415. 1. 416. -0,5. 417. 1. 418. -2.

419. 0. 420. 0. 421. ¥. 422. 1. 423 1. 424. . 425. 1. 426. . 427. 1.

428. 1. 429. . 430. -2. 431. . 432. 10 и 6. 433. 0,6 и –1.

434. . 435. . 436. Сечение желоба имеет форму полукруга. 437. 8 и 0. 438. 1 и 0,6. 439. Наибольшее значение равно 1,

наименьшего – нет. 440. . 441. На высоте .

442. (–¥; 0), (0; 0,5), (1; ¥) – убывает, (0,5; 1) – возрастает; y_min(0,5) = 8,

y_max(1) = 10. 443. (0; 1), (1; e) – убывает, (e; ¥) – возрастает; y_min(e) = e.

444. y_max(0) = 0, y_min(1) = . 445. y_max(–a) = –2a, y_min(a) = 2a.

446. , (a; ¥) – возрастает, – убывает, . 447. (–¥;0), (2;¥) – убывает, (0;2) – возрастает, y_min(0) = 0, y_max(2) = . 448. . 449. y_min(0) = 0.

450. . 451. точки перегиба (2; 62) и (4; 206). Интервалы: вогнутости – (–¥; 2), выпуклости – (2; 4), вогнутости – (4; ¥). 452. точки перегиба (±1; ln 2). Интервалы: выпуклости – (–¥; –1), вогнутости – (–1; 1), выпуклости – (1; ¥).

453. x = –1, y = 0,5x –1. 454. x = 0, y = x + 3. 455. Точки перегиба . Интервалы: вогнутости – (–¥;–3a), выпуклости – (0;3a), выпуклости – (3a;¥). 456. Точки перегиба . Интервалы: выпуклости – , вогнутости – . 457. x = b, x = 2b, y = x +3(b – a). 458. y +1 = 0, 2x + y +1 = 0.

459. Определена везде. График симметричен относительно начала. y_max = 0,5 при x = 1, y_min = – 0,5 при x = –1. Точки перегиба графика . Асимптота у = 0. 460. Определена везде. График симметричен относительно начала координат. при x = 1, при x = –1. Точки перегиба графика (0; 0), . Асимптота у = 0. 461. Определена везде, кроме х = 0; y = 3 при x = 0,5. Максимумов нет. Точка перегиба графика . Асимптота х = 0. 462. Определена везде, график симметричен относительно оси ординат. y_min = –1 при x = 0; (1; 0) и

(–1; 0) - точки перегиба графика с горизонтальной касательной;

- точки перегиба. Асимптот нет. 463. Определена везде, кроме x = –1; при x = 5, y_min = 0 при x = 1. Абсциссы точек перегиба графика . Асимптоты x = –1 и y = 0. 464. Определена везде, кроме x = 0. Максимумов нет. при . Абсцисса точки перегиба графика . Асимптота x = 0. 465. Определена везде, кроме значений x = ± 1. График симметричен относительно оси ординат. Максимумов нет. y_min = 1 при x = 0. Точек перегиба нет. Асимптоты x = ± 1, y = 0. 466. Определена везде, кроме x = 1. Максимумов нет. . Точка перегиба графика (0; 0). Асимптота x = 1. 467. Определена везде. при x = 2, y_min = 0 при x = 0. Абсциссы точек перегиба графика . Асимптота y = 0.

468. Определена везде, кроме x = 1. Максимумов нет. y_min = –1 при x = 0. Точка перегиба графика . Асимптоты x = 1 и y = 0.

469. Определена везде. при x = 3. Минимумов нет. Абсциссы точек перегиба 0 и . Асимптота y = 0. 470. Определена везде. при x = 4, y_min = 0 при x = 0. Точка перегиба графика (6; 0).

Асимптота x + y = 2.