Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Чувствительность и устойчивость




При реализации управленческого решения зачастую имеют место возмущения по каким-либо параметрам системы, обусловленные внешними и внутренними факторами. Эти возмущения приводят к изменению оптимальных значений переменных задачи (объема производства продукции) и целевой функции (прибыли). Поэтому, возникает задача об оценке их влияния на управленческое решение и на базе нее формулировки конкретных действий, которые нужно предпринять в этих условиях.

Для решения поставленной задачи используем математический аппарат теории чувствительности. Пусть существует следующая задача линейного программирования:

Ф= СiXj →max αij Xj ≤ bi

 

Найдено оптимальное решение задачи, то есть определены выходные характеристики задачи, а именно оптимальные значения переменных х° и целевой функции Ф°. Продукцию, для которой хi°>0 , будем называть «выгодной»; продукцию, для которой хi° = 0 - «невыгодной». Введем характеристику запасов ресурсов уi=bi- аijхj°, которая показывает количество ресурса i-ro вида, оставшегося после реализации оптимального решения.

Если уi =0, то ресурс будем называть «дефицитным». Если уi>0 – ресурс «недефицитный».

Оценим влияние изменения запасов i-ого ресурса на выходные характеристики задачи. Для этого введем в рассмотрение коэффициенты чувствительности , которые показывают, на сколько изменится значение j-ой переменной при увеличении запаса i-го ресурса на единицу. Данные коэффициенты отличны от нуля для «дефицитных» ресурсов и равны нулю для «недефицитных».

Коэффициенты чувствительности показывают на сколько изменится значение целевой функции при увеличении запаса i-го ресурса на единицу.

Найдем коэффициенты чувствительности для функции определения оптимальной производственной программы. Пусть целевой функцией является максимизация прибыли, а ограничениями выступают запасы сырьевых ресурсов.

Ф=5.52Х1+3,62Х2→max

2X1+3X2≤1000 |b1

X1 ≤ 446,73 |b2

X2 ≤ 295,4 |b3

Оптимальным решением задачи является х1°= 446,73, х2°=35,51. Так как х1°, х2°>0, следовательно, и первая, и вторая продукция «выгодные». Определим резервы по ресурсам: у1 =0, у2=0, у3=259,89. Отсюда делаем вывод, что первый и второй ресурс являются «дефицитными», третий - «недефицитным». Так как коэффициенты чувствительности для «недефицитного» ресурса равны нулю, следовательно

Для определения оставшихся коэффициентов, исключаем из системы ограничений третье неравенство, в двух других переходим к строгим равенствам и, обозначив правые части через b1 и b2, получим следующую систему уравнений:

2X1+3X2 = b1

X1 = b2

Продифференцируем данную систему по b1:

 

 

С учетом, что , имеем:

Отсюда . Аналогично после дифференцирования по b3 определим , .

Рассчитаем коэффициенты чувствительности целевой функции к вариациям «дефицитных» ресурсов:

z1=c1α11+c2α21=5,52*0+3,62*1/3=1,2

z2=c1α12+c2α22=5,52*1+3,62*(-2/3)=3,11

Под устойчивостью управленческих решений в задачах оптимизации обычно понимают неизменность опорного базиса системы. В данной задаче нахождения оптимального плана выпуска продукции опорный базис - ситуация, при которой сохраняется номенклатура выгодной и невыгодной продукции, а также номенклатура дефицитных и недефицитных ресурсов.

Исследуем опорный базис системы. Предположим, что возникли возмущения по некоторому дефицитному ресурсу ∆bS. Это изменение приведет к изменению значений переменных xj, а именно .

Если известно оптимальное значение переменной хj°, то новое значение переменной определяется как:

Условием неизменности базиса является тот факт, что объем продукции j должен быть положительным . Если он станет равным нулю, следовательно, продукция не будет включена в производственную программу, то есть она из разряда «выгодных» перейдет в «невыгодные», Математически это условие запишется как:

или

Это выражение позволяет сделать аналитическую оценку величины изменения ∆bs, которое не приводит к смене опорного базиса системы.

Рассмотрим возможный диапазон колебания дефицитного ресурса ∆bs. Если аjs > 0, то добавление ресурса s приведет к увеличению объема выпуска j –той продукции, следовательно, в этом случае изменение опорного базиса системы не произойдет. Если ajs < 0, то добавление ресурса s может привести к изменению опорного базиса, то есть объем выпуска j -той продукции может стать равным нулю, то есть продукция не будет выпускаться.

Рассмотрим недефицитный ресурс bi, для него резерв уi ≠0и рассчитывается как Предположим, возникло возмущение по запасу дефицитного ресурса ∆bs, оно приведет к изменению значений переменных ∆хj. В свою очередь, изменение ∆хj приведет к изменению запасов недефицитных ресурсов ∆уj (∆bs →∆xj →∆уj). Следовательно, может возникнуть такая ситуация, когда ∆bs приведет к тому, что запас недефицитного ресурса станет равным нулю (∆уj=0). Это означает, что недефицитный ресурс стал дефицитным, то есть изменилась номенклатура ресурсов и произошла смена опорного базиса системы. В этом случае математическая формулировка условия неизменности базиса имеет вид:

Для нашей задачи устойчивость опорного базиса рассчитывается следующим образом.

 

Ф=5,52Х1+3,62Х2→max

2X1+3X2≤1000 |b1

X1 ≤ 446,73|b2

X2 ≤ 295,4 |b3

Оптимальным решением задачи является х1°= 446,73, х2°=35,51. Резервы по ресурсам: у1 =0, у2=0, у3=259,89. Отсюда делаем вывод, что первый и второй ресурс являются «дефицитными», третий - «недефицитным». Отсюда исходный опорный базис системы представляет собой две «выгодные» продукции, 1-ый и 2-ий дефицитные и 3-й недефицитный ресурсы.

Определим диапазон изменения запасов дефицитных ресурсов b1 и b2, в рамках которого смена опорного базиса не произойдет:

Δb1,1=-x1011=∞

Δb1,2= -x2021=-106,53

Следовательно, если фонд времени уменьшится на 107 единиц, произойдет смена опорного базиса системы (график 8). Вторая продукция станет невыгодной, откажемся от её производства.

Аналогично для третьего ресурса:

Δb2,1=-x1012=-446,73

Δb2,2= -x2022=53,26

Следовательно, если спрос уменьшится на 447 единиц, то выпускать первую продукцию станет невыгодно, откажемся от её производства. Если спрос на первую продукцию возрастёт на 54 единицы, то производить вторую продукцию станет невыгодно. При увеличении запаса третьего (недефицитного) ресурса смены опорного базиса не произойдет, а при уменьшении на некоторую величину b3, возникает ситуация, когда ресурс становится дефицитным. Из выражения следует, что

Δ b3=y3=-259,89




Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (426)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)