Сложение и вычитание колебаний

Цепи переменного тока

В этой работе рассматриваются простейшие цепи переменного тока. Приведем перечень основных параметров переменного тока.

1. Мгновенное значение синусоидального сигнала:

где t — текущее время; А_m — амплитуда; w — угловая частота.

Период Т, угловая частота w и циклическая частота F связаны соотношениями:

,

2. Действующие (эффективные) значения синусоидального тока и напряжения:

где I_m U_m — амплитуды тока и напряжения.

3. Средние значения синусоидального тока и напряжения за положительную полуволну:

Сложение и вычитание колебаний

При сложении двух колебаний синусоидальной формы

образуется синусоидальный сигнал той же частоты

где

Следует заметить, что формула для А_m справедлива как для амплитудного, так и эффективного значения тока и напряжения, в чем нетрудно убедиться, подставив в эту формулу эффективные значения. Это замечание связано с тем, что далее мы будем пользоваться именно эффективными значениями токов, взятыми в данном случае из схемы на рисунке 1.

Определим в качестве примера сумму и разность двух синусоидальных токов

Используя приведенные выше формулы, для суммы токов получим:

откуда фаза В=-11,5°.

Для вычисления разности токов воспользуемся соотношением:

В этом случае вычитаемый ток

.

Таким образом, задача вычитания второго тока из первого сводится к суммированию с учетом проделанных преобразований. Для разности токов в таком случае получим:

Схема для моделирования суммирования и вычитания синусоидальных токов показана на рисунке 1. В ней использован источник переменного тока, в окне свойств которого можно задать частоту, ток и фазу в градусах. Однако задавать отрицательные значения фазы в программе не допускается. Поэтому для тока I2 задана начальная фаза 315°, поскольку sin(-45°)=sin(360°-45°). Для измерения токов в каждую ветвь включены амперметры в режиме измерения переменного тока (АС). Как видно из показаний амперметра, измеряющего ток Is, результаты суммирования токов совпадают с результатами расчетов.

Для измерения фазы использован осциллограф, в канале А которого регистрируется сигнал от источника I1, создающий на резисторе R1 падение напряжение I1*R1=0,1*1000=100 В. Канал В осциллографа с помощью ключа Х может подключаться к резисторам R2, R3, сопротивления которых рассчитаны таким образом, чтобы токи I1, Is создавали на них падения напряжения тоже 100 В (для удобства проведения осциллографических измерений). Пользуясь переключателем X, можно контролировать фазовые соотношения между токами I1, I2, Is. В положении переключателя, показанном на рисунке 1, такие соотношения можно регистрировать между токами I1, Is.

Рисунок 1 – Схема суммирования и вычитания двух синусоидальных токов

Результаты осциллографических измерений, полученные при моделировании процесса суммирования двух синусоидальных токов, показаны на рисунке 2 (для повышения точности отсчета осциллограф включен в режиме ZOOM). Визирные линии поставлены в точки пересечения синусоидами оси времени (визирная линия 1 — для тока I1, 2 — для тока Is). Из правого цифрового табло отсчетов видно, что временной промежуток между визирными линиями составляет Т2-Т1=0,1125 с. Поскольку период колебаний исследуемых сигналов составляет Т=1 с (частота 1 Гц), то измеренный промежуток времени, пропорциональный разности начальных фаз токов I1, Is, в градусах может быть определен из очевидного соотношения:

В1-В=360°(Т2-Т1)/Т=360(0,1125)/1=40,5°=40°30',

откуда фаза суммарного тока В=-10°30', что отличается от расчетного на 19'. Эта разница (около 3%) объясняется погрешностью отсчета временного интервала при установке виз ирных линий (так называемая погрешность параллакса).

Рисунок 2 – Осциллограмма токов I1 (A) , Is (В)

Результаты моделирования вычитания токов приведены на рисунке 3, откуда видно, что они полностью совпадают с данными расчета. Обратите внимание, в схеме сопротивление резистора R3 изменено для удобства проведения осциллографических измерений.

Рисунок 3 – Схема вычитания двух синусоидальных токов

Сложение напряжений

Для примера выберем следующие величины напряжений

Схема измерений для этого случая показана на рисунке 4. Она выполнена в виде суммирующего устройства на операционном усилителе OU. Коэффициент передачи для каждого источника напряжения равен R/R1=R/R2=1. По существу с помощью суммирующего усилителя процесс сложения напряжений сведен к процессу суммирования токов I1=U1/R1 и I2=U2/R2 на резисторе R. При этом справедливость приведенных формул обеспечивается тем, что потенциал точки А за счет большого коэффициента усиления ОУ практически равен нулю.

Рисунок 4 – Схема сложения двух синусоидальных напряжений

Контрольные вопросы и задания

1. Почему методы расчета цепей постоянного тока нельзя использовать для расчета цепей переменного тока? В каких случаях это можно делать?

2. Проведите расчеты и моделирование сложения двух синусоидальных токов при разности фаз токов 60°.

3. Проведите анализ фазовых соотношений в схеме на рис. 2.3 по результатам моделирования.

4. С помощью осциллографа измерьте фазу суммарного напряжения в схеме на рисунке 4.

Практическая работа 2