Характеристические уравнения для дифференциальных уравнений второго порядка
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Для упрощения записей ограничимся случаем двух переменных. Пусть - искомая функция. Ограничиваясь случаем производных, не выше второй степени будем считать заданным некий функционал , где ; ; ; ; .
1.1 Линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Введем более простое уравнение: (1.1) Оно линейно по старшим производным, если коэффициенты зависят только от ( ) и не зависят от . Введем уравнение (1.2) Если – зависят только от ( ), то уравнение (1.2) линейно. Если const, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением (ДУ) с постоянными коэффициентами. Если , то (1.2) – линейное однородное уравнение. Нашей дальнейшей целью является упрощение формы ДУ путем подбора других систем координат. , где Новые координаты выбираются так, чтобы соответствующий определитель . Лемма 1. При переходе к новой системе координат линейное уравнение остается линейным. Нужно доказать, что (1.1) перейдет в некоторое линейное уравнение: (1.1’) Три типа дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных Для уравнений (1.1),(1.1’) введем некоторую величину, называемую дискриминантом Для уравнения (1.1) , (1.4) Для уравнения (1.1’) . (1.4’) Лемма 2. При смене системы координат знак не меняется, если определитель преобразования не обращается в ноль: . Если в какой-то области дискриминант имел определенный знак, то он сохранит тот же знак в области, полученной из данной преобразованием координат,при . Будем называть уравнения в той области, где – гиперболическими, – параболическими, – эллиптическими. Рассмотрим условия, когда обращаются в ноль. Характеристические уравнения для дифференциальных уравнений второго порядка Новые координаты приводят к изменению коэффициентов , . Лемма 3. Если является частным решением уравнения , (1.5) то , где c = const является общим интегралом уравнения: . (1.6) Лемма 4. Если является общим интегралом уравнения (1.6), то - частное решение (1.5).
Аналогичным образом, если у нас есть еще один общий интеграл для (1.6), t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>C</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ,то его примем за новую переменную, чтобы . Для характеристического уравнения получаем 1) Для гиперболических уравнений ( ) существуют 2 решения (2 общих интеграла) для (1.6). Выбираем , . Тогда можем обеспечить уничтожаемость и . 2) Для параболических уравнений ( имеется одно решение (один общий интеграл) для (1.6). Выберем его за одну новую переменную , исключается только или . 3) Для эллиптических уравнений есть два комплексных решения характеристического уравнения. За новые переменные можно взять их действительную и мнимую части.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1284)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |