Уравнение теплопроводности
Рассмотрим ограниченный объем V, в котором идет процесс выделения тепла. В нем существует процесс теплопередачи и есть источник тепла . Пусть q – удельная тепловая мощность: Количество теплоты, выделившееся в объеме за время Δt будет равно: Рис.19 Так как только на , то область интегрирования можно расширить до объема V. Пусть – плотность тела, c – удельная теплоемкость. Тогда количество теплоты, идущее на нагрев V:
где – перепад температуры. Введем функцию – температура в точке в момент времени t. Тогда: Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой. Из закона теплопроводности Фурье: – количество теплоты, перетекающее через элемент поверхности dS за время , где – нормаль к поверхности S, k – коэффициент теплопроводности. Используем теорему Гаусса-Остроградского: Уравнение теплового баланса r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> дает Объем V был выбран произвольно. Следовательно, равенство интегралов равносильно равенству подынтегральных выражений. При , получаем Если k=const, то (3.1) – уравнение теплопроводности, где . (3.1) – дифференциальное уравнение параболического типа. В одномерном случае u=u(x,t). Тогда (3.1) принимает вид: (3.1’) Само дифференциальное уравнение неоднородно. Если , то в системе есть подкачка тепла извне, а если , то подкачки нет, и в системе осуществляется охлаждение.
Построим простейшие краевые задачи. 1. Охлаждение бесконечного стержня:
2. Охлаждение полубесконечного стержня, левый конец стержня поддерживается при нулевой температуре:
3. Полубесконечный стержень, через левый край которого нет теплопередачи: , s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>=0.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
4. Краевая задача для конечного стержня, оба конца которого поддерживаются при нулевой температуре:
5. Наиболее общая краевая задача имеет вид:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (591)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |