Теневая цена ресурса определяет прирост целевой функции, обеспечиваемый увеличением запаса дефицитного ресурса на единицу его измерения

Практическая работа №2. Отчет по устойчивости.

Цель работы: изучить возможности и структуру отчетов и экономическую интерпретацию результатов решения оптимизационных задач менеджмента.

Практическая работа:

Отчет по устойчивости имеет две различные формы: отчет по устойчивости решений, полученных с помощью линейных моделей оптимизации и нелинейных.

Результатам решения линейных задач можно дать наглядную экономическую интерпретацию. К сожалению, результаты, получаемые с помощью нелинейных моделей, в большинстве случаев не имеют такой интерпретации.

Основной вопрос, освещаемый в этом отчете:насколько устойчиво найденное оптимальное решение по отношению к возможным изменениям параметров задачи. Любая строка любой таблицы этого отчета говорит о том, какие изменения можно произвести по отношению к ячейке (столбец “Ячейка”) при условии, что содержимое остальных ячеек определяется оптимальным решением.

Отчет по устойчивости для линейной модели

Отчет состоит из двух разделов: изменяемые ячейки и ограничения.

Раздел “Ограничения” связан с анализом связанных ограничений на возможность изменения их правых частей (запасов дефицитных ресурсов) в пределах постоянства теневой цены.

Для дефицитных ресурсов (в нашей задаче это запасы исходных продуктов, сохраняемые в ячейках E16,E17) важен вопрос, какое дополнительное увеличение целевой функции может обеспечить увеличение запасов ресурса. Ответ на этот вопрос связан с использованием понятия теневой цены (скрытой цены, двойственной цены, ценности ресурса).

Теневая цена ресурса определяет прирост целевой функции, обеспечиваемый увеличением запаса дефицитного ресурса на единицу его измерения.

Так теневая цена продукта П1 (ячейка E16) определена как 0,333333 (тыс.$/т). Это означает, что увеличение запаса П1 на тонну увеличит целевую функцию примерно на $333. Аналогичное влияние на изменение значения целевой функции оказывает теневая цена продукта П2 (ячейка E17), которая определяется значением 1,333333 (тыс.$/т).

Теневая цена определяет скрытые возможности реорганизации системы путем изменения запасов дефицитных ресурсов, изменения организации использования этих ресурсов (расширение складов и т.п.). Кроме того теневая цена позволяет ранжировать такие ресурсы с точки зрения их полезности для расширения производства.

Например, в нашем примере сравнение теневых цен П1 и П2 показывает, что при стремлении увеличить общую прибыль от продажи краски предпочтение нужно отдать увеличению запасов продукта П2, поскольку он имеет большую теневую цену.

Однако анализ найденного оптимального решения с помощью теневых цен имеет смысл только в определенныхпределах. Эти пределы указывают, в каких границах изменение запасов того или иного дефицитного ресурса влияет на найденное оптимальное решение задачи и значение целевой функции. В этом разделе отчета утверждается, что запасы ресурса П1 могут изменяться в пределах (6-1,96; 6+1) тонн, дальнейшее увеличение или уменьшение запаса не будет оказывать влияния на оптимальное решение задачи (т.е. соответствующее ограничение по запасу ресурсов станет избыточным, а сам ресурс перейдет в категорию недефицитных). Аналогично значения (8-1,95) и (8+4) определяют пределы возможных изменений запасов другого дефицитного ресурса П2. Увеличение П2 в этом интервале от 8т до 12т приведет к изменению оп тимального решения задачи и увеличению значения целевой функции, уменьшение запаса П2 с 8т до примерно 6т - к уменьшению найденного значения целевой функции.

Другими словами, четыре правых столбца таблицы ограничений определяют теневую цену ресурса и диапазон возможных изменений запасов этого ресурса, в котором теневая цена остается для данной задачипостоянной. Любое изменение дефицитного ресурса в пределах постоянства теневой цены приводит к изменению оптимального решения задачи и значения целевой функции.

Для любого недефицитного ресурса теневая цена равна нулю, поэтому для этого типа ресурсов интересен один вопрос: насколько можно снизить запасы ресурса при сохранении найденного оптимального решения. Ответ на этот вопрос можно получить при анализе отчета по результатам.

Третья строка таблицы Ограничения отчета по устойчивости характеризует не связанное ограничение по сбыту. Фактически эта строка не добавляет никакой информации к содержанию аналогичной строки в отчете по результатам: недефицитный ресурс сбыта может быть сокращен на 3т и неограниченно увеличен (величина 1E+30 в этом смысле просто большое число, представленное в научном формате).

В разделе “Изменяемые ячейки” определяется нормированная стоимость (редуцированная стоимость) единицы изменяемой ячейки (в нашем примере тонны краски) и анализируются возможные изменения коэффициентов целевой функции (в нашем примере это стоимости тонны краски Н и В).

Редуцируемая стоимость(Рс)единицы продукции определяет разницу между ее стоимостью(Ст)и производственными затратами на ее изготовление (Пз):Рс= Ст-Пз.

1-ая строка таблицы “Изменяемые ячейки” посвящена анализу ячейки B23, в которой содержится оптимальное значение производимого объема краски Н - 3,33т.

Целевой коэффициент, определяющий стоимость 1-ой тонны краски Н, имеет значение 3 (тыс.$/т). Производственные затраты на изготовление тонны краски Н связаны с расходами исходных продуктов П1 и П2, которые относятся к дефицитным ресурсам.

В соответствии с условиями задачи на изготовление тонны краски Н требуется 1 тонна продукта П1 и 2 тонны продукта П2, следовательно затраты на производство тонны краски Н определяются выражением:

Пз =1 (т П1/т краски_Н) * Теневая_Цена_П1 (тыс.$/т П1) +

2 (т П2/т краски_Н) * Теневая_Цена_П2 (тыс.$/т П2).

Подставляя сюда значения теневых цен П1 и П2 из таблицы “Ограничения”, получим:

Пз =1 * 0,333333 + 2 * 1,333333 = 3 (тыс.$/т краски_Н).

Поскольку стоимость тонны краски Н составляет 3 (тыс.$/т), редуцируемая стоимость тонны краски_Н будет определяться значением:

Рс =Ст- Пз = 3 - 3 =0 (тыс.$/т краски_Н).

Аналогично определяется редуцируемая стоимость единицы варьируемой переменной ячейки B24 - тонны краски В.

Нулевые значения редуцируемой стоимости свидетельствуют о полной реализации всех потенциальных возможностей, связанных с получением прибыли от данного вида производственной деятельности (производства краски). В этом и заключается оптимальное решение задачи.

В общем случае редуцируемая стоимость может отличаться от нуля как в сторону увеличения, так и уменьшения, что свидетельствует о дисбалансе между стоимостью единицы продукции и производственными затратами на ее изготовление.

При упрощенном анализе этого раздела отчета редуцируемая стоимость показывает насколько увеличится/уменьшится значение целевой ячейки при увеличении на единицу значения соответствующей изменяемой ячейки.

Два последних столбца таблицы “Изменяемые ячейки” определяют возможные вариации целевых коэффициентов, при которыхсохраняется оптимальное решение задачи, но изменяется оптимальное значение целевой функции.

При изменении целевого коэффициента 3 (это стоимость 1т краски Н в тыс. долларов) в пределах (3-2=1; 3+1=4) и изменении целевого коэффициента 2 (стоимость 1т краски В) в пределах (1,5; 6) оптимальное решение в ячейках В23,В24 сохранится, но значение целевой функции изменится. Например, для прежних объемов производства краски (3,33т краски Н и 1,33т краски В) и допустимых новых целевых коэффициентах 4 и 6 значение общей прибыли будет:

4 (тыс.$ /т) * 3,33т + 6 (тыс.$ /т) * 1,33т = 21,33 (тыс.$).

С другой стороны использование минимально возможных значений целевых коэффициентов приведет к получению прибыли в размере:

1 (тыс.$/т) * 3,33т + 1,5 (тыс.$/т) * 1,33т = 5,33 (тыс.$).

Еще раз подчеркнем, что эти изменения общей прибыли могут быть получены только за счет изменения цен на краску без изменения опти мального соотношения объемов производства, т.е. фактически без какой либо реорганизации исследуемой системы.