Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


I.II Интегрирование правилом трапеции



2015-11-20 525 Обсуждений (0)
I.II Интегрирование правилом трапеции 0.00 из 5.00 0 оценок




Использование для интерполяции полинома первой степени(прям линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту.

В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).

Проиллюстрируем использование формулы трапеций на примере рис. 1

 

Величину I можно представить как сумму площадей трапеции (в данном случае четырех)

Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности, в то время как есть методы более высоких порядков.

Если же сравнивать эти два метода между собой, то метод прямоугольников, который относится к методам Гаусса - Кристоффеля, является точнее метода трапеций, относящегося к методам Ньютона - Котеса. Но в то же время метод трапеций может применяться с произвольным шагом, в отличие от метода прямоугольников, который, как мы увидели, не применим, например, к функциям, заданным в конечном числе точек.

Главное преимущество правило трапеции – его простота. Однако если при вычислении интеграла требуется высокая точность, применение этого метода может потребовать слишком большого количества итераций или машинного времени.

II. Правило Симпсона

Правило Симпсона – один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования. Он аналогичен правилу трапеций, поскольку также базируется на разбиении общего интервала интегрирования на более мелкие отрезки. Однако его отличие в том, что для вычисления площади через каждые три последовательные ординаты разбиения проводится квадратная парабола.

 

 

Как и раньше, разобьем интервал [a,b] на n равных частей, но предположим, что n - четное число: n=2m. Заменим дугу линии y = f(x), соответствующую интервалу [x0,x2], дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги (x0,y0), среднюю точку(x1,y1), конечную точку (x2,y2) (рис.2). Аналитически, это означает, что в интервале [x0,x2] данная функция y = f(x) заменяется квадратичной функцией
Коэффициенты p, q и r выбираются так, чтобы значения обеих функций были равны при x0, x1 и x2 соответственно

;
;

Решая полученные уравнения, находим коэффициенты p, q и r.
Произведя подобные замены и в интервалах [x2,x4], [x4,x6],...,[xn−2xn] будем считать, что площадь данной трапеции приближенно равна сумме площадей получающихся параболических трапеций. Докажем теперь, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой y=px2+qx+r с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой

где Losn - длина основания, yn - ордината начальной, yc - ордината средней и yk - ордината конечной точек дуги параболы.
Предположим сначала, что основанием трапеции служит интервал оси Ox, симметричный относительно начала координат, [−y,y ] . Для площади такой параболической трапеции имеем выражение

 

Так как здесь γn=γx=-γ=2 +r , γc=γx=0=r, γk=γx=γ=2++r и длина основания равна 2γ , то непосредственной подстановкой этих значений в формулу убеждаемся в ее справедливости.

Очевидно, что эта формула справедлива и для параболической трапеции рассматриваемого вида с любым основанием. Действительно, площадь трапеции не изменится, если перенести ее параллельно самой себе так, чтобы основание стало симметричным относительно начала координат, и тогда искомая площадь выразится в согласии с формулой.
Возвращаясь к первоначальной задаче, найдем по этой формуле площадь S1 параболической трапеции, опирающейся на интервал [x0,x2]:

 

,где Аналогично выразятся площади S1 , S2, ... Sm последующих параболических трапеций:

…………………………………..

Сложив почленно все эти равенства, получим выражение, дающее приближенное значение искомого интеграла:

Это и есть формула Симпсона.

По формуле Симпсона, например, для интеграла находим I≈ 0,200013; абсолютная ошибка составляет всего 0,000013, а относительная -0,01%.

Для любого интеграла от квадратичной функции y=px2+qx+r формула Симпсона должна, конечно, дать точное значение. Заметим, что формула Симпсона дает также точное значение и для интеграла от кубической функции.



2015-11-20 525 Обсуждений (0)
I.II Интегрирование правилом трапеции 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: I.II Интегрирование правилом трапеции

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (525)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)