Скалярное произведение
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Выделим на координатных осях Ох, Оy и Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (рис. 2.5). Рис. 2.5. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: . Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через , , . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда, используя определение суммы векторов, последовательно получаем. , , и, следовательно
Учитывая, что вектор равен произведению его модуля на орт, получаем
Обозначим
, ,
тогда из равенств (2.2) и (2.3) следует, что
Представление вектора в виде (2.4) называется разложением вектора по базису , , .
Координаты вектора в базисе , , обозначим x, у, z. Таким образом, координаты точки М (x, у, z) – это также и координаты , поэтому = х + y + z . Направленные прямые, проходящие через точку О и сонаправленные с базисными векторами , , называются осями координат соответственно Ох, Оy и Оz. Координаты вектора ( x, у, z ) – это проекции вектора на оси Ох, Оy и Оz. Рассмотрим две точки А(x1 , y1, z1) и В (x2, y2, z2), радиус-векторы которых и . Так как = (x2– x1, y2– y1, z2– z1), то приходим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Пример 2.1 Найти вектор , если А(5;8;–1), В(1;3;2). Решение =(1–5; 3–8; 2–(–1)) Þ =(– 4; –5; 3) или = . Для случая плоскости декартова система координат определяется началом координат О и двумя базисными векторами , . Соответственно применяются записи для точки плоскости М (х, у) и вектора в плоскости (x, у).
Пример 2.2 Найти орт вектора . Решение Из решения получаем . Векторы и коллинеарны (параллельны). Из равенства векторов и следует равенство соответствующих координат bx=lax, by=lay, bz=laz. Из этих трех равенств получается условие коллинеарности векторов и :
Пример 2.3 При каких значениях a и b векторы и коллинеарны? Решение Из коллинеарности векторов и следует пропорциональность их координат Þ a = , Þ b = – 6. Сумма и разность векторов и определяется по формулам . Сумма векторов и , начала которых совмещены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы и . Разность этих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограмма, причем начало этого вектора находится в конце вектора , а конец – в конце вектора (см. рис.1.2). Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение так: × или . Таким образом, по определению,
где j – угол между векторами и . Свойства.Рассмотрим некоторые важные свойства скалярного произведения: 1. . 2. . 3. . 4. =0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны (один из них может быть нулевым вектором) 5. . 6. . Свойства 1), 4), 5) следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Докажем свойство 6. По определению, . Но , откуда . Совершенно аналогично доказывается, что . Свойства 2) и 3) доказываются с помощью свойства 6) и свойств проекций. Действительно, ; . Величина называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из свойства 5) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля = . Вычисление.Выведем формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами. Рассмотрим базис , , . Скалярные произведения одноименных векторов базиса равны единице: =1, так как это скалярные квадраты единичных векторов. Скалярные произведения различных векторов базиса равны нулю: = 0, так как это скалярные произведения ортогональных векторов. Пусть , . Используя свойства 2 и 3 скалярного произведения, последовательно получаем
+ = + + + + + = .
Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат
В частности, , поэтому, учитывая свойство 5) скалярного произведения, получаем | |= (см. формулу (2.5).
Пример 2.1 Вычислить , если | |=3, | |= 4, . Решение = = = + × – = 9 + –32 = –17. Пример 2.2 Найти скалярное произведение векторов и .
Решение По формуле (2.10), получаем = (–1)× 2 + 3×0 + 2×1 = 0. Отметим, что из равенства нулю скалярного произведения, следует, что векторы и ортогональны. Приложения.Рассмотрим некоторые приложения скалярного произведения
1. Вычисление угла между векторами и :
Пример 2.3 Найти внутренний угол при вершине С в треугольнике АВС, если A(1;–2; 3), B(–2; –1; 1), C(–3; 4; 5).
Решение Искомый угол a это угол между векторами =(4; –6;–2)и = (1; –5;–4); тогда сos a = Þ Þ a = p/6.
2. Вычисление проекции вектора на вектор :
Пример 2.4 Найти проекцию вектора на вектор из примера 2.3. Решение .
3. Условие ортогональности векторов и :
Пример 2.5 При каком значении вектор ортогонален вектору ? Решение Запишем условие ортогональности (2.13) для векторов и : 1×2 + (–a)×1 + + 2×(–3) = 0. Из этого уравнения получаем значение = – 4. 4. Вычисление работы при прямолинейном перемещении точки из положения М в положение N под действием силы . Пример 2.6 Вычислить работу, которую производит сила =(3; –5; –6) на отрезке пути AB, если A(1; –3; –2), B(3; –7; –1). Решение = (2; – 4; 1); А = = 3×2 + (–5)×(–4) + (–6)×1 = 20 (ед. работы).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (575)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |