Простейшие задачи в декартовых координатах
Рассмотрим задачу нахождения проекции направленного отрезка на ось. Пусть в пространстве задан направленный отрезок . Предположим, что на оси введены декартовы координаты. Проекцией направленного отрезка на ось называется величина направленного отрезка , началом которого служит проекция точки на ось , а концом – проекция точки на эту ось. Указанная проекция обозначается: . Для нахождения этой проекции перенесем направленный отрезок параллельно самому себе так, чтобы его начало попало на ось . Обозначим через наименьший угол между полученным направленным отрезком и осью . Если - длина рассматриваемого отрезка, то получаем: . Рассмотрим теперь задачу нахождения расстояния между двумя точками по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена нами на оси. Пусть в пространстве заданы точки и . Очевидно, что расстояние между этими точками равно длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки и . Длина параллельного оси ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине проекции направленного отрезка на ось , т.е., согласно следствию теоремы пункта 1, равна . По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям и , равны соответственно и . Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу: . Заметим, что на плоскости расстояние между точками и определяется равенством: . Рассмотрим задачу, связанную с делением отрезка в заданном отношении. Пусть на отрезке задана точка , отличная от границ этого отрезка. Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если . Пусть на плоскости заданы точки и . Найдем координаты точки , про которую известно, что она делит отрезок в отношении . Спроектируем точки , и на ось абсцисс. Получим соответственно точки , и . Из подобия треугольников (см. рис.) очевидно, что . С другой стороны нам известно, что , . Отсюда следует равенство . Аналогично спроектировав рассматриваемые точки на оси , получим формулы для нахождения ординаты точки : . Отметим частный случай, когда . В этом случае точка делит отрезок пополам, и мы получаем следующие равенства: , . Заметим, что аналогичные формулы будут справедливы и при делении отрезка в заданном отношении в пространстве. Пример.Даны точки и . Найти расстояние между этими точками и точку, которая делит отрезок в отношении 2. ∆ Найдем расстояние между данными точками: . Пусть точка делит отрезок в отношении 2. Тогда получаем равенства: , , . Таким образом, искомой точкой является точка . ▲ Геометрические векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами.
Геометрическим вектором (или просто вектором) называется направленный отрезок. В курсе линейной алгебры были рассмотрены «алгебраические» векторы, представляющие собой в -мерном пространстве упорядоченные наборы чисел. Там же отмечалось, что геометрические векторы (на плоскости или в трехмерном пространстве) являются частным случаем алгебраических векторов. Поэтому все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов, переносятся и на случай геометрических векторов. Будем обозначать вектор символом , если известны начало – точка и конец – точка данного вектора. Если же начало и конец вектора неизвестны или не представляют интереса, то будем обозначать вектор символом . На чертеже вектор будем изображать стрелкой. Длину вектора будем обозначать . Начало вектора называется его точкой приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор и точка всегда можно найти такую точку , что . Другими словами, любой вектор можно отложить из любой точки. В соответствии с этим геометрические векторы называют свободными (они определены с точностью до точки приложения). Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и противоположные направления. В трехмерном пространстве векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Введем линейные операции над векторами, т.е. операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора . Произведением вектора на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное направлению вектора , если . Если или , то произведение представляет собой нулевой вектор. В курсе линейной алгебры были рассмотрены «алгебраические» векторы, представляющие собой в -мерном пространстве упорядоченные наборы чисел и являющиеся элементами векторных пространств. Исходя из геометрических соображений, становится очевидным то, что введенные линейные операции над геометрическими векторами удовлетворяют всем аксиомам векторных пространств, а именно: I) для любых векторов и выполняется равенство: ; II) для любых векторов , и выполняется равенство: ; III) существует нулевой вектор такой, что для любого вектора выполняется равенство: ; IV) для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий равенству: ; V) для любого вектора выполняется равенство: ; VI) для любого вектора и любых чисел выполняется равенство: ; VII) для любого вектора и любых чисел выполняется равенство: ; VIII) для любых векторов и и любого числа выполняется равенство: . Таким образом, указанные аксиомы можно считать теперь свойствами геометрических векторов, и все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов, переносятся и на случай геометрических векторов. Справедливо следующее утверждение, являющееся критерием коллинеарности векторов. Теорема.Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число , такое что . Доказательство. Достаточность этого утверждения сразу следует из определения произведения вектора на число. Покажем, что из того, что и коллинеарны, следует, что существует действительное число , такое что . Приложим векторы и к общему началу . Тогда эти векторы расположатся на одной прямой. Возможны два случая: 1) векторы и направлены в одну сторону; 2) указанные векторы противоположно направлены. Пусть и концы векторов и . Так как рассматриваемые векторы являются ненулевыми, то точки и отличны от точки . Если точки и совпадают, то равны векторы и , и равенство очевидно при . Если же точки и различны, то можно говорить о том, что точка делит отрезок в некотором отношении, которое мы обозначим . Тогда справедливо равенство: , Или, что то же самое, . В случае, когда векторы и направлены в одну сторону, точка лежит вне отрезка , и поэтому , т.е. . Если же векторы и противоположно направлены, то точка лежит внутри отрезка , и поэтому , т.е. . Покажем, что в обоих случаях . Очевидно, что векторы и коллинеарны. Это следует из определения произведения вектора на число и коллинеарности векторов и . Равенство длин векторов и следует из соотношения и определения произведения вектора на число. Векторы и одинаково направлены, так как , если и одинаково направлены, и , если и противоположно направлены. Таким образом, . ■
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (885)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |