Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Тема 2. Простейшие показательные уравнения и неравенства




Основные понятия и термины: показательные уравнения, показательные неравенства

 

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пример 11000x=100

Решение:

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:103x=102

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: 2/3 .

Пример 23х2-х-2=81

Решение:

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

При решении показательных уравнений, главные правила-действия со степенями.

Пример 34х+1+4х=320

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=3204х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙43, тогда:4х∙5=5∙43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4х=43

Приравняем показатели:х=3

Ответ: 3

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству .
Если 0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству

Пример 4Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5 Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х< - 3

Ответ: .

Задания:

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-4;0) 2) [0;1) 3) [1;4) 4) [4;6)

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-5;-3) 2) [-3;0] 3) (2;4] 4) (0;2]

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-1;0] 2) (0;1] 3) (1;2] 4) (2;3]

4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (4;0] 2) (0;1] 3) (1;3) 4) [3;6)

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1(1;2) 2) [2;5) 3) [-2;-1] 4) (-1;1]

6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-3;-1) 2) [-1;0) 3) [0;1) 4) [1;5]

7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (5;6] 2) [-1;0) 3) [0;2] 4) (-5;-1)

8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-1;0) 2) [0;1) 3) [1;3) 4) [3;5]

Решить уравнение:

1.2х + 2х + 1 = 6 2.5х + 1 + 5х + 5х – 1 = 31 3.271-х =

4.5= 25х + 0,55.8х = 4ж – 1 6.2163х + 1 =

7.49х + 1 = 8.2 = 9.13х = 1

10. = 11. 4•3х + 2 + 5•3х +1 - 6•3х = 5

12. 3х + 2 - 5•3х = 36 12.7х + 2 - 14•7х = 5

13. 2х + 4 – 2х = 120 14. 2х + 3 + 2х + 1 - 7•2х = 48

15. = 27х + 316.10•5х -1 + 5х + 1 = 7

17. 7х - = 6 18. 4 5х + 1 =

19. 3х + 2 + 3х = 810 20. 82 + 3х =

21. 811 – 2х = 27 2 – х22. 3х + 2 + 3х + 1 + 3х = 39

23. 2 = 4 2х + 1

Раздел 5

Элементы математической статистики.

Тема 1. Основные понятия комбинаторики.

 

Основные понятия и термины: комбинаторика, элементы комбинаторики, перестановка, факториал, сочетания, размещения

 

Краткое изложение теоретических вопросов:

Комбинато́рика— раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n!

Факториа́лчисла n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

Задача.Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.

Задача.На танцплощадке собрались 7 юношей и 7 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

 

Ответ: 7!

Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

 

Задача. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

Решение. Перечислим все возможные варианты:

 

20 22 26

30 32 36

60 62 66

70 72 76

90 92 96

 

Используя правило умножения, получаем: 5х3=15

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cnk. Оно равно

 

 

Задача. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

 

Решение: По формуле находим:

= 120 комиссий

 

Ответ: 120 комиссий.

 

Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

 

Задача.В группе обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

 

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно . По формуле находим

 

Ответ: 12144 способа

 

Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Сколько различных слов можно составить из слова «ВЕКТОР»;
В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?
Сколько флагов можно составить из трех цветных полосок?
Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов?
Для освещения событий в одной из стран ближнего зарубежья решено отправить трех корреспондентов газеты. Сколькими способами это можно сделать, если в штате 32 сотрудника?
В финале конкурса <Студент года> принимают участие 6 человек. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?



Читайте также:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1071)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)